Schulphysikwiki - Benutzerbeiträge [de]

Abstandsberechnungen

2012-01-20T16:40:08Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Abstand Punkt-Punkt (-> Betrag eines Vektors -Vergleich:[[Vektoren]] Punkt 3.)

'''• Abstand Punkt-Ebene (-> Hessesche Normalenform HNF[http://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform])

'''• Abstand Punkt-Gerade (-> orthogonale Hilfsebene)

'''• Abstand windschiefer Geraden

'''• Abstand paralleler Geraden

''Aufgaben zum üben:''

Beispielaufgaben zur Abstandsberechnung: -> [http://www.youtube.com/watch?v=2vdiGN-lwlU]

-> [http://www.youtube.com/watch?v=qok4d9J4cBM]

-> [http://www.youtube.com/watch?v=ZXkElO_C_dk]

-> [http://www.youtube.com/watch?v=Jb7IlR14NwM]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Abstandsberechnung -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.278ff

Abstandsberechnungen

2012-01-20T16:39:53Z

Julian.Makhotkin:

Online Aufgabensammlung - Abiturvorbereitung

2012-01-20T16:39:31Z

Julian.Makhotkin:

== '''Themenübersicht Abitur 2012''' ==

'''• 1. Analytische Geometrie:'''

'''1.'''1 [[Spiegelungen]]

'''1.'''2 [[Winkelberechnungen]]

'''1.'''3 [[Lineare Gleichungssyteme]]

'''1.'''4 [[Abstandsberechnungen]]

'''1.'''5 [[Vektoren]]

'''1.'''6 [[Geraden]]

'''1.'''7 [[Ebenen]]

'''• 2. Analysis:'''

'''2.'''1 [[Funktionen]]

'''2.'''2 [[Kurven untersuchen]]

'''2.'''3 [[Ableiten]]

'''2.'''4 [[Integrieren]]

'''2.'''5 [[Gleichungen]]

[[Datei:Wichtiges_zum_schriftlichen_Abitur_in_Mathe.pdf‎ ]]

Hier als Hilfestelung zwei Formelsammlungen: [http://mathenexus.zum.de/formelsammlungen/analysis/_fs_analysis.htm] + [http://mathenexus.zum.de/formelsammlungen/geometrie/_fs_geo.htm]

Zum üben von bestimmten Aufgabentypen oder zum wiederholen von einzelnen Themen:
-> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal.htm] (!) , [http://www.mathe-online.at/ressourcen/uebersicht.html] , [http://oberprima.com/mathematik/] , [http://mathe1.de/mathematikbuch/klasse11.htm] , [http://mathe-video.com/] , [http://www.ina-de-brabandt.de/]

Online Aufgabensammlung - Abiturvorbereitung

2012-01-20T16:39:16Z

Julian.Makhotkin: /* Themenübersicht Abitur 2012 */

Lineare Gleichungssyteme

2012-01-20T16:28:01Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Lineare Gleichungssyteme mit: - einer Lösung
'''- unendlich vielen Lösungen
'''- keiner Lösung

'''• Gleichungen geometrisch interpretieren

'''• Gauß-Verfahren[http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Verfahren]

== ''Aufgaben zum üben:'' ==

1. LGS mit dem Gauß-Verfahren lösen:

<math>2x_1</math> - <math>3x_2</math> + <math>3x_3</math> = 4
<math>5x_1</math> - <math>4x_2</math> + <math>3x_3</math> = 22
<math>-4x_1</math> + <math>3x_2</math> + <math>3x_3</math> = 10

2. Lösungsmenge bestimmen:

<math>4x_1</math> + <math>x_2</math> + <math>7x_3</math> = 12
<math>5x_1</math> + <math>10x_3</math> = 5
<math>-x_1</math> - <math>2x_2</math> = -2

-> [[Lösungen]]

Hier zwei Beispielaufgaben: -> [http://www.youtube.com/watch?v=nhRsa5PIXGg] , [http://www.youtube.com/watch?v=DNSB9PwzwM8]

LGS mit dem Taschenrechner: -> [http://www.youtube.com/watch?v=sgEAYkM0Uqo]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Lineare Gleichungssysteme -> ''Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien'' S.210ff

Online Aufgabensammlung - Abiturvorbereitung

2012-01-20T16:16:13Z

Julian.Makhotkin:

Ebenen

2012-01-20T16:14:44Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Parameterform[http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterform#Parameterdarstellungen_von_Geraden_und_Ebenen]

'''• Normalenform[http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenform]

'''• Koordinatenform[http://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatenform]

'''• Lage im Koordinatensystem (-> Schrägbild, Spurpunkte)

'''• gegenseitige Lage (-> identisch, parallel, Schnittgerade)

'''• gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (-> Vergleich: [[Geraden]] Punkt 3.)

''Aufgaben zum üben:''

Übungsaufgaben (mit Lösungen): -> [http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/loesung/loesung568/]

-> [http://ksbg.educanet2.ch/fgmathematik1/kap_3_6/kap_3_6_aufgaben.pdf]

-> [http://www.mathe-macht-spass.de/download/Arbeitsblatt_AufgabenEbenen.pdf]

Klausur zu Geraden und Ebenen (mit Lösungen): -> [http://www.klassenarbeiten.de/oberstufe/leistungskurs/mathematik/geraden/geradeebene.htm]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Ebenen -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.246ff

Geraden

2012-01-20T16:13:06Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Parameterform[http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterform#Parameterdarstellungen_von_Geraden_und_Ebenen] (siehe: [[Ebenen]])

'''• gegenseitige Lage (-> identisch, parallel, Schnittpunkt, windschief)

'''• gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (-> Schnittpunkt, parallel, Gerade liegt auf Ebene)

''Aufgaben zum üben:''

Übungsaufgaben zur gegenseitigen Lage(mit Lösungen): -> [http://www.ina-de-brabandt.de/vektoren/g/lage-geraden-1-aufgaben.html]

Klausur zu Geraden und Ebenen (mit Lösungen): -> [http://www.klassenarbeiten.de/oberstufe/leistungskurs/mathematik/geraden/geradeebene.htm]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Geraden -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.240f

Geraden

2012-01-20T16:03:39Z

Julian.Makhotkin:

Ebenen

2012-01-20T16:03:18Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Parameterform[http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterform#Parameterdarstellungen_von_Geraden_und_Ebenen]

'''• Normalenform[http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenform]

'''• Koordinatenform[http://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatenform]

'''• Lage im Koordinatensystem (-> Schrägbild, Spurpunkte)

'''• gegenseitige Lage (-> identisch, parallel, Schnittgerade)

'''• gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (-> Vergleich: [[Geraden]] Punkt 3.)

''Aufgaben zum üben:''

Übungsaufgaben (mit Lösungen): -> [http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/loesung/loesung568/]

Klausur zu Geraden und Ebenen (mit Lösungen): -> [http://www.klassenarbeiten.de/oberstufe/leistungskurs/mathematik/geraden/geradeebene.htm]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Ebenen -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.246ff

Ebenen

2012-01-20T16:02:29Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Parameterform[http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterform#Parameterdarstellungen_von_Geraden_und_Ebenen]

'''• Normalenform[http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenform]

'''• Koordinatenform[http://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatenform]

'''• Lage im Koordinatensystem (-> Schrägbild, Spurpunkte)

'''• gegenseitige Lage (-> identisch, parallel, Schnittgerade)

'''• gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (-> Vergleich: [[Geraden]] Punkt 3.)

''Aufgaben zum üben:''

Klausur zu Geraden und Ebenen mit Lösungen: -> [http://www.klassenarbeiten.de/oberstufe/leistungskurs/mathematik/geraden/geradeebene.htm]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Ebenen -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.246ff

Geraden

2012-01-20T16:01:55Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Parameterform[http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterform#Parameterdarstellungen_von_Geraden_und_Ebenen] (siehe: [[Ebenen]])

'''• gegenseitige Lage (-> identisch, parallel, Schnittpunkt, windschief)

'''• gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (-> Schnittpunkt, parallel, Gerade liegt auf Ebene)

''Aufgaben zum üben:''

Übungsaufgaben zur gegenseitigen Lage(mit Lösungen): -> [http://www.ina-de-brabandt.de/vektoren/g/lage-geraden-1-aufgaben.html]

Klausur zu Geraden und Ebenen mit Lösungen: -> [http://www.klassenarbeiten.de/oberstufe/leistungskurs/mathematik/geraden/geradeebene.htm]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Geraden -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.240f

Geraden

2012-01-20T16:01:02Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Parameterform[http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterform#Parameterdarstellungen_von_Geraden_und_Ebenen] (siehe: [[Ebenen]])

'''• gegenseitige Lage (-> identisch, parallel, Schnittpunkt, windschief)

'''• gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (-> Schnittpunkt, parallel, Gerade liegt auf Ebene)

''Aufgaben zum üben:''

Übungsaufgaben zur gegenseitigen Lage(mit Lösungen): -> [http://www.ina-de-brabandt.de/vektoren/g/lage-geraden-1-aufgaben.html
]

weitere Aufgaben siehe [[Ebenen]]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Geraden -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.240f

Geraden

2012-01-20T15:59:18Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Parameterform[http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterform#Parameterdarstellungen_von_Geraden_und_Ebenen] (siehe: [[Ebenen]])

'''• gegenseitige Lage (-> identisch, parallel, Schnittpunkt, windschief)

'''• gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (-> Schnittpunkt, parallel, Gerade liegt auf Ebene)

''Aufgaben zum üben:''

Übungsaufgaben zur gegenseitigen Lage(mit Lösungen): -> [http://www.ina-de-brabandt.de/vektoren/g/lage-geraden-1-aufgaben.html
]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Geraden -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.240f

Lösungen

2012-01-20T15:18:40Z

Julian.Makhotkin:

Lösung zu:

'''1.'''3 Aufgabe 1: (9.5;10.5;5,5)
Aufgabe 2: L = { }

'''2.'''1 Aufgabe 1: - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden
Exponenten besteht. Oder wenn gilt: f(-x)= f(x) z.B. f(-2)= f(2)

- Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht.
oder wenn gilt: f(-x)= -f(x) z.B. f(-3)= -f(3)

'''2.'''1 Aufgabe 2: <math>P_1</math>(0|0) ist Sattelpunkt <math>\rightarrow</math> 3-fache Nullstelle
<math>P_x</math>(3|0) ist einfache Nullstelle
<math>\rightarrow</math> Ansatz: f(x)= <math>a_4</math> <math>x^3</math>(x-3)
P2(2|-2): f(2)= -2 <math>\leftrightarrow</math> <math>a_4</math> * <math>2^3</math>(2-3)= -2 <math>\leftrightarrow</math> <math>-8a_4</math> = -2 <math>\leftrightarrow</math> <math>a_4</math> = <math>\frac{1}{4}</math>
Funktionsgleichung: f(x)= <math>\frac{1}{4}</math><math>x^3</math>(x-3) = <math>\frac{1}{4}</math><math>x^4</math> - <math>\frac{3}{4}</math><math>x^3</math>

'''2.'''1 Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=<math>x^4</math>
Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=<math>(x-3)^4</math>
Streckung um den Faktor 2: g(x)=<math>2(x-3)^4</math>
Neue Funktionsgleichung: g(x)=<math>2x^4</math> - <math>24x^3</math> + <math>108x^2</math> - 216x + 162

b) Achsensymmetrie: g(-x)= g(x)
g(x) = <math>2x^4</math> - <math>24x^3</math> + <math>108x^2</math> - 216x + 162
g(-x)= <math>2(-x)^4</math> - <math>24(-x)^3</math> + <math>108(-x)^2</math> -216(-x) + 162
= <math>2x^4</math> + <math>24x^3</math> + <math>108x^2</math> + 216x + 162
<math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht achsensymmetrisch.
Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x) (g(-x) siehe oben)
-g(x)= <math>-2x^4</math> + <math>24x^3</math> - <math>108x^2</math> + 216x - 162
<math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ -g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht punktsymmetrisch

'''2.'''2 Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen

'''2.'''2 Aufgabe 2: f(x)= <math>\frac{1}{2}</math><math>x^3</math> <math>- 3x^2</math> <math>\rightarrow</math> keine Symmetrie!
f(x)=0 <math>\leftrightarrow</math> <math>x^2</math> ( <math>\frac{1}{2}</math>x - 3) = 0
<math>\rightarrow</math> <math>x_{1/2}</math> = 0 <math>x_3</math> = 6

'''2.'''2 Aufgabe 3: f(x)= <math>4x^3</math> + <math>12x^2</math>
f´(x)= <math>12x^2</math> + 24x
f´´(x)= 24x + 24
f´´´(x)= 24

f´(x) = 0
24x + 24 = 0

x = -1
f´´´(x) ≠ 0
f´´´(-1)= 24

An der Stelle -1 liegt eine Wendestelle vor!

'''2.'''3 Aufgabe 1: • f´(x)= <math>8 e^{2x}</math> , f´´(x)= <math>16 e^{2x}</math> , f´´´(x)= <math>32 e^{2x}</math>
• f´(x)= <math>e^{x+4}</math> , f´´(x)= <math>e^{x+4}</math> , f´´´(x)= <math>e^{x+4}</math>
• f´(x)= <math>(x+3)e^x</math> , f´´(x)= <math>(x+4)e^x</math> , f´´´(x)= <math>(x+5)e^x</math>

Lösungen

2012-01-20T15:13:31Z

Julian.Makhotkin:

Lösung zu:

'''1.'''3 Aufgabe 1: (9.5;10.5;5,5)
Aufgabe 2: L = { }

'''2.'''1 Aufgabe 1: - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden
Exponenten besteht. Oder wenn gilt: f(-x)=f(x) z.B. f(-2)=f(2)

- Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht.
oder wenn gilt: f(-x)=-f(x) z.B. f(-3)=-f(3)

'''2.'''1 Aufgabe 2: P1(0|0) ist Sattelpunkt <math>\rightarrow</math> 3-fache Nullstelle
Px(3|0) ist einfache Nullstelle
<math>\rightarrow</math> Ansatz: f(x)= a_4 x^3(x-3)
P2(2|-2): f(2)= -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <math>\leftrightarrow</math> -8a_4 = -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 = <math>\frac{1}{4}</math>
Funktionsgleichung: f(x)= <math>\frac{1}{4}</math>x^3(x-3) = <math>\frac{1}{4}</math>x^4 - <math>\frac{3}{4}</math>x^3

'''2.'''1 Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=x^4
Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=(x-3)^4
Streckung um den Faktor 2: g(x)=2(x-3)^
Neue Funktionsgleichung: g(x)=2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162

b) Achsensymmetrie: g(-x)=g(x)
g(x) = 2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162
g(-x)= 2(-x)^4 - 24(-x)^3 + 108(-x)^2 -216(-x) + 162
= 2x^4 + 24x^3 + 108x^2 + 216x + 162
<math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht achsensymmetrisch.
Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x) (g(-x) siehe oben)
-g(x)= -2x^4 + 24x^3 - 108x^2 + 216x - 162
<math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ -g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht punktsymmetrisch

'''2.'''2 Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen

'''2.'''2 Aufgabe 2: f(x)= <math>\frac{1}{2}</math><math>x^3</math> <math>- 3x^2</math> <math>\rightarrow</math> keine Symmetrie!
f(x)=0 <math>\leftrightarrow</math> <math>x^2</math> ( <math>\frac{1}{2}</math>x - 3) = 0
<math>\rightarrow</math> <math>x_{1/2}</math> = 0 <math>x_3</math> = 6

'''2.'''2 Aufgabe 3: f(x)= <math>4x^3</math> + <math>12x^2</math>
f´(x)= <math>12x^2</math> + 24x
f´´(x)= 24x + 24
f´´´(x)= 24

f´(x) = 0
24x + 24 = 0

x = -1
f´´´(x) ≠ 0
f´´´(-1)= 24

An der Stelle -1 liegt eine Wendestelle vor!

'''2.'''3 Aufgabe 1: • f´(x)= <math>8 e^{2x}</math> , f´´(x)= <math>16 e^{2x}</math> , f´´´(x)= <math>32 e^{2x}</math>
• f´(x)= <math>e^{x+4}</math> , f´´(x)= <math>e^{x+4}</math> , f´´´(x)= <math>e^{x+4}</math>
• f´(x)= <math>(x+3)e^x</math> , f´´(x)= <math>(x+4)e^x</math> , f´´´(x)= <math>(x+5)e^x</math>

Lösungen

2012-01-20T15:07:13Z

Julian.Makhotkin:

Lösung zu:

'''1.'''3 Aufgabe 1: (9.5;10.5;5,5)
Aufgabe 2: L = { }

'''2.'''1 Aufgabe 1: - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden
Exponenten besteht. Oder wenn gilt: f(-x)=f(x) z.B. f(-2)=f(2)

- Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht.
oder wenn gilt: f(-x)=-f(x) z.B. f(-3)=-f(3)

'''2.'''1 Aufgabe 2: P1(0|0) ist Sattelpunkt <math>\rightarrow</math> 3-fache Nullstelle
Px(3|0) ist einfache Nullstelle
<math>\rightarrow</math> Ansatz: f(x)= a_4 x^3(x-3)
P2(2|-2): f(2)= -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <math>\leftrightarrow</math> -8a_4 = -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 = <math>\frac{1}{4}</math>
Funktionsgleichung: f(x)= <math>\frac{1}{4}</math>x^3(x-3) = <math>\frac{1}{4}</math>x^4 - <math>\frac{3}{4}</math>x^3

'''2.'''1 Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=x^4
Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=(x-3)^4
Streckung um den Faktor 2: g(x)=2(x-3)^
Neue Funktionsgleichung: g(x)=2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162

b) Achsensymmetrie: g(-x)=g(x)
g(x) = 2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162
g(-x)= 2(-x)^4 - 24(-x)^3 + 108(-x)^2 -216(-x) + 162
= 2x^4 + 24x^3 + 108x^2 + 216x + 162
<math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht achsensymmetrisch.
Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x) (g(-x) siehe oben)
-g(x)= -2x^4 + 24x^3 - 108x^2 + 216x - 162
<math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ -g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht punktsymmetrisch

'''2.'''2 Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen

'''2.'''2 Aufgabe 2: f(x)= <math>\frac{1}{2}</math>x^3 - 3x^2 <math>\rightarrow</math> keine Symmetrie!
f(x)=0 <math>\leftrightarrow</math> x^2 ( <math>\frac{1}{2x}</math> - 3) = 0
<math>\rightarrow</math> x_1/2 = 0 x_3= 6

'''2.'''2 Aufgabe 3: f(x)= 4x^3 + 12x^2
f´(x)= 12x^2 + 24x
f´´(x)= 24x + 24
f´´´(x)= 24

f´(x)= 0
24x + 24 = 0

x = -1
f´´´(x) ≠ 0
f´´´(-1)= 24

An der Stelle -1 liegt eine Wendestelle vor!

'''2.'''3 Aufgabe 1: • f´(x)= <math>8 e^{2x}</math> , f´´(x)= <math>16 e^{2x}</math> , f´´´(x)= <math>32 e^{2x}</math>
• f´(x)= <math>e^{x+4}</math> , f´´(x)= <math>e^{x+4}</math> , f´´´(x)= <math>e^{x+4}</math>
• f´(x)= <math>(x+3)e^x</math> , f´´(x)= <math>(x+4)e^x</math> , f´´´(x)= <math>(x+5)e^x</math>

Lösungen

2012-01-20T14:51:59Z

Julian.Makhotkin:

Lösung zu:

'''1.'''3 Aufgabe 1: (9.5;10.5;5,5)
Aufgabe 2: L = { }

'''2.'''1 Aufgabe 1: - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden
Exponenten besteht. Oder wenn gilt: f(-x)=f(x) z.B. f(-2)=f(2)

- Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht.
oder wenn gilt: f(-x)=-f(x) z.B. f(-3)=-f(3)

'''2.'''1 Aufgabe 2: P1(0|0) ist Sattelpunkt <math>\rightarrow</math> 3-fache Nullstelle
Px(3|0) ist einfache Nullstelle
<math>\rightarrow</math> Ansatz: f(x)= a_4 x^3(x-3)
P2(2|-2): f(2)= -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <math>\leftrightarrow</math> -8a_4 = -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 = 1/4
Funktionsgleichung: f(x)= 1/4x^3(x-3) = 1/4x^4 - 3/4x^3

'''2.'''1 Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=x^4
Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=(x-3)^4
Streckung um den Faktor 2: g(x)=2(x-3)^
Neue Funktionsgleichung: g(x)=2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162

b) Achsensymmetrie: g(-x)=g(x)
g(x) = 2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162
g(-x)= 2(-x)^4 - 24(-x)^3 + 108(-x)^2 -216(-x) + 162
= 2x^4 + 24x^3 + 108x^2 + 216x + 162
<math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht achsensymmetrisch.
Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x) (g(-x) siehe oben)
-g(x)= -2x^4 + 24x^3 - 108x^2 + 216x - 162
<math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ -g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht punktsymmetrisch

'''2.'''2 Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen

'''2.'''2 Aufgabe 2: f(x)= 1/2x^3 - 3x^2 <math>\rightarrow</math> keine Symmetrie!
f(x)=0 <math>\leftrightarrow</math> x^2 ( 1/2x - 3) = 0
<math>\rightarrow</math> x_1/2 = 0 x_3= 6

'''2.'''2 Aufgabe 3: f(x)= 4x^3 + 12x^2
f´(x)= 12x^2 + 24x
f´´(x)= 24x + 24
f´´´(x)= 24

f´(x)= 0
24x + 24 = 0

x = -1
f´´´(x) ≠ 0
f´´´(-1)= 24

An der Stelle -1 liegt eine Wendestelle vor!

'''2.'''3 Aufgabe 1: • f´(x)= 8 e^2x , f´´(x)= 16 e^2x , f´´´(x)= 32 e^2x
• f´(x)= e^x+4 , f´´(x)= e^x+4 , f´´´(x)= e^x+4
• f´(x)= (x+3)e^x , f´´(x)= (x+4)e^x , f´´´(x)= (x+5)e^x

Online Aufgabensammlung - Abiturvorbereitung

2012-01-20T14:43:21Z

Julian.Makhotkin:

Funktionen

2012-01-20T14:41:43Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• ganzrationale Funktionen[http://de.wikipedia.org/wiki/Ganzrationale_Funktion]

'''• Potenzfunktionen[http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzfunktion]

'''• Exponentialfunktionen[http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion] (-> natürliches Wachstum, beschränktes Wachstum, Differentialgleichungen)

'''• trigonometrische Funktionen[http://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Funktion]

'''• Definitionsbereich

'''• Funktionen aufstellen

'''• Schaubilder (-> Verschiebung, Streckung, Spiegelung, charakteristische Eigenschaften)

''Aufgaben zum üben:''

1. Was wissen Sie über die Symmetrie ganzrationaler Funktionen ?

2. er Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades hat in <math>P_1</math> einen Sattelpunkt, schneidet die x- Achse in Px und verläuft durch den Punkt
P2. Bestimmen Sie den Funktionsterm. Daten: <math>P_1</math>(0|0);<math>P_x</math>(3|0);<math>P_2</math>(2|-2)

3. Der Graph der Potenzfunktion vierten Grades soll um 3 Einheiten nach rechts verschoben und anschließend um den Faktor 2 gestreckt
werden.
a) Geben Sie die Funktionsgleichung für den verschobenen Graphen an.
b) Weisen Sie nach, dass der Graph weder achsen- noch punktsymmetrisch ist.

-> [[Lösungen]]

Übungsaufgabe zu: Potenzfunktionen -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p3_gr_fkt_t_01/p3_gr_fkt_t_01.htm]

Exponentialfunktionen -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p4_expgl_t_01/p4_expgl_t_01.htm]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Graphen und Funktionen analysieren -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.130ff

Wachstum -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.170ff

Lineare Gleichungssyteme

2012-01-20T14:40:20Z

Julian.Makhotkin:

Lineare Gleichungssyteme

2012-01-20T14:39:30Z

Julian.Makhotkin:

Ableiten

2012-01-20T14:33:46Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Summen[http://de.wikipedia.org/wiki/Summenregel]-Faktorregel[http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorregel]

'''• Produktregel[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel]

'''• Kettenregel[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenregel]

'''• Potenzregel[http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzregel]

'''• Änderungsrate[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84nderungsrate#Mittlere_.C3.84nderungsrate]

'''• Tangentensteigung

'''• grafisch Ableiten

''Aufgaben zum üben:''

1. Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab: • f(x)= <math>4e^{2x}</math>

• f(x)= <math>e^{x+4}</math>

• f(x)= <math>(x+2)e^x</math>

Übungsaufgaben zum ableiten mit Produkt- und Kettenregel: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p7_diff_int_t_04/p7_diff_int_t_04.htm]

Übungsaufgabensammlung: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p5_diff_05/p5_diff_05.htm]

-> [[Lösungen]]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Ableiten -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.56ff

Lineare Gleichungssyteme

2012-01-20T14:27:06Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Lineare Gleichungssyteme mit: - einer Lösung
'''- unendlich vielen Lösungen
'''- keiner Lösung

'''• Gleichungen geometrisch interpretieren

'''• Gauß-Verfahren[http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Verfahren]

== ''Aufgaben zum üben:'' ==

1. LGS mit dem Gauß-Verfahren lösen:

2<math>x_1</math>-3<math>x_2</math>+3<math>x_3</math> =4
5<math>x_1</math>-4<math>x_2</math>+3<math>x_3</math> =22
-4<math>x_1</math>+3<math>x_2</math>+3<math>x_3</math>=10

2. Lösungsmenge bestimmen:

4<math>x_1</math>+<math>x_2</math> +7<math>x_3</math> =12
5<math>x_1</math> +10<math>x_3</math>=5
-<math>x_1</math>-2<math>x_2</math> =-2

-> [[Lösungen]]

Hier zwei Beispielaufgaben: -> [http://www.youtube.com/watch?v=nhRsa5PIXGg] , [http://www.youtube.com/watch?v=DNSB9PwzwM8]

LGS mit dem Taschenrechner: -> [http://www.youtube.com/watch?v=sgEAYkM0Uqo]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Lineare Gleichungssysteme -> ''Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien'' S.210ff

Online Aufgabensammlung - Abiturvorbereitung

2012-01-19T23:24:48Z

Julian.Makhotkin:

== '''Themenübersicht Abitur 2012''' ==

'''• 1. Analytische Geometrie:'''

'''1.'''1 [[Spiegelungen]]

'''1.'''2 [[Winkelberechnungen]]

'''1.'''3 [[Lineare Gleichungssyteme]]

'''1.'''4 [[Abstandsberechnungen]]

'''1.'''5 [[Vektoren]]

'''1.'''6 [[Geraden]]

'''1.'''7 [[Ebenen]]

'''• 2. Analysis:'''

'''2.'''1 [[Funktionen]]

'''2.'''2 [[Kurven untersuchen]]

'''2.'''3 [[Ableiten]]

'''2.'''4 [[Integrieren]]

'''2.'''5 [[Gleichungen]]

[[Datei:Wichtiges_zum_schriftlichen_Abitur_in_Mathe.pdf‎ ]]

Hier ein Überblick über die Formeln: [http://mathenexus.zum.de/formelsammlungen/analysis/_fs_analysis.htm] + [http://mathenexus.zum.de/formelsammlungen/geometrie/_fs_geo.htm]

Zum üben von bestimmten Aufgabentypen oder zum wiederholen von einzelnen Themen:
-> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal.htm] (!) , [http://www.mathe-online.at/ressourcen/uebersicht.html] , [http://oberprima.com/mathematik/] , [http://mathe1.de/mathematikbuch/klasse11.htm] , [http://mathe-video.com/]

Die Darstellungsform der Aufgaben unter: '''1.'''3 , '''2.'''2 und '''2.'''3 sowie unter [[Lösungen]] ist aufgrund technischer Probleme
etwas unanschaulich. - in Bearbeitung.

Online Aufgabensammlung - Abiturvorbereitung

2012-01-19T23:24:22Z

Julian.Makhotkin:

== '''Themenübersicht Abitur 2012''' ==

'''• 1. Analytische Geometrie:'''

'''1.'''1 [[Spiegelungen]]

'''1.'''2 [[Winkelberechnungen]]

'''1.'''3 [[Lineare Gleichungssyteme]]

'''1.'''4 [[Abstandsberechnungen]]

'''1.'''5 [[Vektoren]]

'''1.'''6 [[Geraden]]

'''1.'''7 [[Ebenen]]

'''• 2. Analysis:'''

'''2.'''1 [[Funktionen]]

'''2.'''2 [[Kurven untersuchen]]

'''2.'''3 [[Ableiten]]

'''2.'''4 [[Integrieren]]

'''2.'''5 [[Gleichungen]]

[[Datei:Wichtiges_zum_schriftlichen_Abitur_in_Mathe.pdf‎ ]]

Hier ein Überblick über die Formeln: [http://mathenexus.zum.de/formelsammlungen/analysis/_fs_analysis.htm] + [http://mathenexus.zum.de/formelsammlungen/geometrie/_fs_geo.htm]

Zum üben von bestimmten Aufgabentypen oder zum wiederholen von einzelnen Themen:
-> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal.htm] (!) , [http://www.mathe-online.at/ressourcen/uebersicht.html] , [http://oberprima.com/mathematik/] , [http://mathe1.de/mathematikbuch/klasse11.htm] , [http://mathe-video.com/]

Die Darstellungsform der Aufgaben unter: '''1.'''3 , '''2.'''2 und '''2.'''3 sowie unter [[Lösungen]] ist aufgrund technischer Probleme
etwas unanschaulich. - in Bearbeitung.

Vektoren

2012-01-19T23:07:37Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant'''

'''• Orts[http://de.wikipedia.org/wiki/Ortsvektor]- und Verbindungsvektoren[http://de.wikipedia.org/wiki/Ortsvektor#Verbindungsvektor]

'''• Skalarprodukt[http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt] (-> orthogonalität)

'''• Betrag[http://de.wikipedia.org/wiki/Betrag_%28Vektor%29]

'''• Normalenvektor[http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenvektor] (-> Kreuzprodukt)

'''• Linearkombinationen

''Aufgaben zum üben:''

Orts/Verbindungsvektor: -> [http://www.youtube.com/watch?v=mvRbrnU4iFc]

Addition und Substraktion von Vektoren: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p50_vektor_auf_01/p50_vektor_auf_01.htm]

Kreuzprodukt: -> [http://www.youtube.com/watch?v=FHRL8AirN8w]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Vektoren -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.236ff

Vektoren

2012-01-19T23:07:27Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant'''

'''• Orts[http://de.wikipedia.org/wiki/Ortsvektor]- und Verbindungsvektoren[http://de.wikipedia.org/wiki/Ortsvektor#Verbindungsvektor]

'''• Skalarprodukt[http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt] (-> orthogonalität)

'''• Betrag[http://de.wikipedia.org/wiki/Betrag_%28Vektor%29]

'''• Normalenvektor[http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenvektor] (-> Kreuzprodukt)

'''• Linearkombinationen

''Aufgaben zum üben:''

Beispielaufgaben:

Orts/Verbindungsvektor: -> [http://www.youtube.com/watch?v=mvRbrnU4iFc]

Addition und Substraktion von Vektoren: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p50_vektor_auf_01/p50_vektor_auf_01.htm]

Kreuzprodukt: -> [http://www.youtube.com/watch?v=FHRL8AirN8w]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Vektoren -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.236ff

Vektoren

2012-01-19T23:07:04Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant'''

'''• Orts[http://de.wikipedia.org/wiki/Ortsvektor]- und Verbindungsvektoren[http://de.wikipedia.org/wiki/Ortsvektor#Verbindungsvektor]

'''• Skalarprodukt[http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt] (-> orthogonalität)

'''• Betrag[http://de.wikipedia.org/wiki/Betrag_%28Vektor%29]

'''• Normalenvektor[http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenvektor] (-> Kreuzprodukt)

'''• Linearkombinationen

''Aufgaben zum üben:''

Beispielaufgaben:

Orts/Verbindungsvektor: -> [http://www.youtube.com/watch?v=mvRbrnU4iFc]

Addition und Substraktion von Vektoren: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p50_vektor_auf_01/p50_vektor_auf_01.htm]

Kreuzprodukt: -> [http://www.youtube.com/watch?v=FHRL8AirN8w]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Vektoren -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.236ff

Geraden

2012-01-19T23:05:07Z

Julian.Makhotkin:

Ebenen

2012-01-19T23:04:48Z

Julian.Makhotkin:

Lineare Gleichungssyteme

2012-01-19T22:55:40Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Lineare Gleichungssyteme mit: - einer Lösung
'''- unendlich vielen Lösungen
'''- keiner Lösung

'''• Gleichungen geometrisch interpretieren

'''• Gauß-Verfahren[http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Verfahren]

== ''Aufgaben zum üben:'' ==

1. LGS mit dem Gauß-Verfahren lösen:

2x_1-3x_2+3x_3 =4
5x_1-4x_2+3x_3 =22
-4x_1+3x_2+3x_3=10

2. Lösungsmenge bestimmen:

4x_1+x_2+7x_3 =12
5x_1 +10x_3=5
-x_1-2x_2 =-2

-> [[Lösungen]]

Hier zwei Beispielaufgaben: -> [http://www.youtube.com/watch?v=nhRsa5PIXGg] , [http://www.youtube.com/watch?v=DNSB9PwzwM8]

LGS mit dem Taschenrechner: -> [http://www.youtube.com/watch?v=sgEAYkM0Uqo]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Lineare Gleichungssysteme -> ''Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien'' S.210ff

Vektoren

2012-01-19T22:51:20Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant'''

'''• Orts[http://de.wikipedia.org/wiki/Ortsvektor]- und Verbindungsvektoren[http://de.wikipedia.org/wiki/Ortsvektor#Verbindungsvektor]

'''• Skalarprodukt[http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt] (-> orthogonalität)

'''• Betrag[http://de.wikipedia.org/wiki/Betrag_%28Vektor%29]

'''• Normalenvektor[http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenvektor] (-> Kreuzprodukt)

'''• Linearkombinationen

''Aufgaben zum üben:''

Orts/Verbindungsvektor: -> [http://www.youtube.com/watch?v=mvRbrnU4iFc]

Addition und Substraktion von Vektoren: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p50_vektor_auf_01/p50_vektor_auf_01.htm]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Vektoren -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.236ff

Vektoren

2012-01-19T21:57:10Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant'''

'''• Orts[http://de.wikipedia.org/wiki/Ortsvektor]- und Verbindungsvektoren[http://de.wikipedia.org/wiki/Ortsvektor#Verbindungsvektor]

'''• Skalarprodukt[http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt] (-> orthogonalität)

'''• Betrag[http://de.wikipedia.org/wiki/Betrag_%28Vektor%29]

'''• Normalenvektor[http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenvektor] (-> Kreuzprodukt)

'''• Linearkombinationen

''Aufgaben zum üben:''

Addition und Substraktion von Vektoren: [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p50_vektor_auf_01/p50_vektor_auf_01.htm]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Vektoren -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.236ff

Online Aufgabensammlung - Abiturvorbereitung

2012-01-19T21:54:26Z

Julian.Makhotkin:

== '''Themenübersicht Abitur 2012''' ==

'''• 1. Analytische Geometrie:'''

'''1.'''1 [[Spiegelungen]]

'''1.'''2 [[Winkelberechnungen]]

'''1.'''3 [[Lineare Gleichungssyteme]]

'''1.'''4 [[Abstandsberechnungen]]

'''1.'''5 [[Vektoren]]

'''1.'''6 [[Geraden]]

'''1.'''7 [[Ebenen]]

'''• 2. Analysis:'''

'''2.'''1 [[Funktionen]]

'''2.'''2 [[Kurven untersuchen]]

'''2.'''3 [[Ableiten]]

'''2.'''4 [[Integrieren]]

'''2.'''5 [[Gleichungen]]

[[Datei:Wichtiges_zum_schriftlichen_Abitur_in_Mathe.pdf‎ ]]

Hier ein Überblick über die Formeln: [http://mathenexus.zum.de/formelsammlungen/analysis/_fs_analysis.htm] + [http://mathenexus.zum.de/formelsammlungen/geometrie/_fs_geo.htm]

Zum üben von bestimmten Aufgabentypen oder zum wiederholen von einzelnen Themen:
-> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal.htm] (!) , [http://www.mathe-online.at/ressourcen/uebersicht.html] , [http://oberprima.com/mathematik/] , [http://mathe1.de/mathematikbuch/klasse11.htm] , [http://mathe-video.com/]

Gleichungen

2012-01-19T21:33:42Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant'''

'''• quadratische Gleichungen (-> Lösungsformeln: pq-[http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformel_f.C3.BCr_die_Normalform_.28p-q-Formel.29] oder abc-Formel[http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformel_f.C3.BCr_die_allgemeine_quadratische_Gleichung_.28a-b-c-Formel.29])

'''• Bruchgleichungen[http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialgleichung#Bruchgleichungen]

'''• Potenzgleichungen

'''• Exponentialgleichungen[http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialgleichung#Exponentialgleichungen]

'''• trigonomentrische Gleichungen[http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialgleichung#Trigonometrische_Gleichungen]

'''• Gleichungssysteme (-> Gauß-Verfahren[http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Verfahren] -siehe [[Lineare Gleichungssyteme]])

'''• Methoden (-> Ausklammern, Substitution[http://de.wikipedia.org/wiki/Substitution_%28Mathematik%29])

''Aufgaben zum üben: ''

Übungsaufgaben zu Gleichungen: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_quad_gl_01/p0_quad_gl_01.htm]

-> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p4_expgl_t_01/p4_expgl_t_01.htm]

Abstandsberechnungen

2012-01-19T21:24:57Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Abstand Punkt-Punkt (-> Betrag eines Vektors -Vergleich:[[Vektoren]] Punkt 3.)

'''• Abstand Punkt-Ebene (-> Hessesche Normalenform HNF[http://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform])
'

'''• Abstand Punkt-Gerade (-> orthogonale Hilfsebene)

'''• Abstand windschiefer Geraden

'''• Abstand paralleler Geraden

''Aufgaben zum üben:''

Beispielaufgaben zur Abstandsberechnung: -> [http://www.youtube.com/watch?v=2vdiGN-lwlU]

-> [http://www.youtube.com/watch?v=qok4d9J4cBM]

-> [http://www.youtube.com/watch?v=ZXkElO_C_dk]

-> [http://www.youtube.com/watch?v=Jb7IlR14NwM]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Abstandsberechnung -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.278ff

Abstandsberechnungen

2012-01-19T21:21:40Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Abstand Punkt-Punkt (-> Betrag eines Vektors -Vergleich:[[Vektoren]] Punkt 3.)

'''• Abstand Punkt-Ebene (-> Hessesche Normalenform HNF[http://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform])
'

'''• Abstand Punkt-Gerade (-> orthogonale Hilfsebene)

'''• Abstand windschiefer Geraden

'''• Abstand paralleler Geraden

''Aufgaben zum üben:''

Beispielaufgaben zur Abstandsberechnung: -> [http://www.youtube.com/watch?v=2vdiGN-lwlU]

-> [http://www.youtube.com/watch?v=qok4d9J4cBM]

-> [http://www.youtube.com/watch?v=ZXkElO_C_dk]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Abstandsberechnung -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.278ff

Abstandsberechnungen

2012-01-19T21:16:02Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Abstand Punkt-Punkt (-> Betrag eines Vektors -Vergleich:[[Vektoren]] Punkt 3.)

'''• Abstand Punkt-Ebene (-> Hessesche Normalenform HNF[http://de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform])
'

'''• Abstand Punkt-Gerade (-> orthogonale Hilfsebene)

'''• Abstand windschiefer Geraden

'''• Abstand paralleler Geraden

''Aufgaben zum üben:''

Beispielaufgabe zu: Abstand Punkt-Ebene: -> [http://www.youtube.com/watch?v=2vdiGN-lwlU]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Abstandsberechnung -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.278ff

Lineare Gleichungssyteme

2012-01-19T21:14:20Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Lineare Gleichungssyteme mit: - einer Lösung
'''- unendlich vielen Lösungen
'''- keiner Lösung

'''• Gleichungen geometrisch interpretieren

'''• Gauß-Verfahren[http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Verfahren]

== ''Aufgaben zum üben:'' ==

1. LGS mit dem Gauß-Verfahren lösen:

2x_1-3x_2+3x_3 =4
5x_1-4x_2+3x_3 =22
-4x_1+3x_2+3x_3=10

2. Lösungsmenge bestimmen:

4x_1+x_2+7x_3 =12
5x_1 +10x_3=5
-x_1-2x_2 =-2

-> [[Lösungen]]

Hier eine Beispielaufgabe: -> [http://www.youtube.com/watch?v=nhRsa5PIXGg]

LGS mit dem Taschenrechner: -> [http://www.youtube.com/watch?v=sgEAYkM0Uqo]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Lineare Gleichungssysteme -> ''Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien'' S.210ff

Lineare Gleichungssyteme

2012-01-19T21:11:32Z

Julian.Makhotkin:

Winkelberechnungen

2012-01-19T18:01:38Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Winkel zwischen Vektoren

'''• Winkel zwischen Geraden

'''• Winkel zwischen Gerade und Ebene

'''• Winkel zwischen Ebenen

- hierzu außerdem wichtig: Skalarprodukt[http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt] (siehe [[Vektoren]])

''Aufgaben zum üben:''

Berechnung des Winkels zwischen: zwei Vektoren: -> [http://www.youtube.com/watch?v=UZ04Eqfq2cc]

zwei Geraden: -> [http://www.youtube.com/watch?v=CFYROm3mlQI]

zwei Ebenen: -> [http://www.youtube.com/watch?v=D0n7F_IbPl4&feature=related]

Gerade und Ebene: -> [http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/schnittwinkel-gerade-ebene-video.html]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Winkelberechnung -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.293ff

Integrieren

2012-01-19T17:43:21Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Stammfunktionen[http://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion] bilden (-> lineare Substitution[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Substitution#Lineare_Substitution])

'''• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung[http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung]

'''• Flächenberechnung

'''• Mittelwert[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Integralrechnung]

'''• Summenbildung

'''• rekonstruierter Bestand

'''• Rotationskörper[http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper]

''Aufgaben zum üben:''

Übungen zum integrieren (mit Lösungen): -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p7_diff_int_t_02/p7_diff_int_t_02.htm]

-> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p6_int_t_01/p6_int_t_01.htm]

Übungen zum integrieren mit substitution (mit Lösungen): ->[http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p7_diff_int_t_05/p7_diff_int_t_05.htm]

Anwendungsaufgaben: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p7_diff_int_05/p7_diff_int_05.htm]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Integrieren -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.86ff

Ableiten

2012-01-19T17:14:20Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Summen[http://de.wikipedia.org/wiki/Summenregel]-Faktorregel[http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorregel]

'''• Produktregel[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel]

'''• Kettenregel[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenregel]

'''• Potenzregel[http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzregel]

'''• Änderungsrate[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84nderungsrate#Mittlere_.C3.84nderungsrate]

'''• Tangentensteigung

'''• grafisch Ableiten

''Aufgaben zum üben:''

1. Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab: • f(x)= 4e^2x

• f(x)= e^x+4

• f(x)= (x+2)e^x

Übungsaufgaben zum ableiten mit Produkt- und Kettenregel: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p7_diff_int_t_04/p7_diff_int_t_04.htm]

Übungsaufgabensammlung: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p5_diff_05/p5_diff_05.htm]

-> [[Lösungen]]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Ableiten -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.56ff

Integrieren

2012-01-19T17:12:41Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Stammfunktionen[http://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion] bilden (-> lineare Substitution[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Substitution#Lineare_Substitution])

'''• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung[http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung]

'''• Flächenberechnung

'''• Mittelwert[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Integralrechnung]

'''• Summenbildung

'''• rekonstruierter Bestand

'''• Rotationskörper[http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper]

''Aufgaben zum üben:''

Übungen zum integrieren (mit Lösungen): -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p7_diff_int_t_02/p7_diff_int_t_02.htm]

-> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p6_int_t_01/p6_int_t_01.htm]

Übungen zum integrieren mit substitution (mit Lösungen): ->[http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p7_diff_int_t_05/p7_diff_int_t_05.htm]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Integrieren -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.86ff

Gleichungen

2012-01-19T17:11:55Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant'''

'''• quadratische Gleichungen (-> Lösungsformeln: pq-[http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformel_f.C3.BCr_die_Normalform_.28p-q-Formel.29] oder abc-Formel[http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformel_f.C3.BCr_die_allgemeine_quadratische_Gleichung_.28a-b-c-Formel.29])

'''• Bruchgleichungen[http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialgleichung#Bruchgleichungen]

'''• Potenzgleichungen

'''• Exponentialgleichungen[http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialgleichung#Exponentialgleichungen]

'''• trigonomentrische Gleichungen[http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialgleichung#Trigonometrische_Gleichungen]

'''• Gleichungssysteme (-> Gauß-Verfahren[http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Verfahren] -siehe [[Lineare Gleichungssyteme]])

'''• Methoden (-> Ausklammern, Substitution[http://de.wikipedia.org/wiki/Substitution_%28Mathematik%29])

''Aufgaben zum üben: ''

Übungsaufgaben zu: quadratischen Gleichungen: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_quad_gl_01/p0_quad_gl_01.htm]

Exponentialgleichungen: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p4_expgl_t_01/p4_expgl_t_01.htm]

Gleichungen

2012-01-19T17:11:28Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant'''

'''• quadratische Gleichungen (-> Lösungsformeln: pq-[http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformel_f.C3.BCr_die_Normalform_.28p-q-Formel.29] oder abc-Formel[http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformel_f.C3.BCr_die_allgemeine_quadratische_Gleichung_.28a-b-c-Formel.29])

'''• Bruchgleichungen[http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialgleichung#Bruchgleichungen]

'''• Potenzgleichungen

'''• Exponentialgleichungen[http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialgleichung#Exponentialgleichungen]

'''• trigonomentrische Gleichungen[http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialgleichung#Trigonometrische_Gleichungen]

'''• Gleichungssysteme (-> Gauß-Verfahren[http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Verfahren] -siehe [[Lineare Gleichungssyteme]])

'''• Methoden (-> Ausklammern, Substitution[http://de.wikipedia.org/wiki/Substitution_%28Mathematik%29])

''Aufgaben zum üben: ''

Übungsaufgaben zu: quadratischen Gleichungen: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_quad_gl_01/p0_quad_gl_01.htm] Exponentialgleichungen: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p4_expgl_t_01/p4_expgl_t_01.htm]

Gleichungen

2012-01-19T17:08:50Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant'''

'''• quadratische Gleichungen (-> Lösungsformeln: pq-[http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformel_f.C3.BCr_die_Normalform_.28p-q-Formel.29] oder abc-Formel[http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformel_f.C3.BCr_die_allgemeine_quadratische_Gleichung_.28a-b-c-Formel.29])

'''• Bruchgleichungen[http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialgleichung#Bruchgleichungen]

'''• Potenzgleichungen

'''• Exponentialgleichungen[http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialgleichung#Exponentialgleichungen]

'''• trigonomentrische Gleichungen[http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialgleichung#Trigonometrische_Gleichungen]

'''• Gleichungssysteme (-> Gauß-Verfahren[http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Verfahren] -siehe [[Lineare Gleichungssyteme]])

'''• Methoden (-> Ausklammern, Substitution[http://de.wikipedia.org/wiki/Substitution_%28Mathematik%29])

''Aufgaben zum üben: ''

Übungsaufgaben zu: quadratischen Gleichungen: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_quad_gl_01/p0_quad_gl_01.htm]
Exponentialgleichungen: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p4_expgl_t_01/p4_expgl_t_01.htm]

Integrieren

2012-01-19T17:04:52Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Stammfunktionen[http://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion] bilden (-> lineare Substitution[http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Substitution#Lineare_Substitution])

'''• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung[http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung]

'''• Flächenberechnung

'''• Mittelwert[http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Integralrechnung]

'''• Summenbildung

'''• rekonstruierter Bestand

'''• Rotationskörper[http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper]

''Aufgaben zum üben:''

Übungen zum integrieren (mit Lösungen): -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p7_diff_int_t_02/p7_diff_int_t_02.htm]

Übungen zum integrieren mit substitution (mit Lösungen): ->[http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p7_diff_int_t_05/p7_diff_int_t_05.htm]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Integrieren -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.86ff

Ableiten

2012-01-19T17:03:18Z

Julian.Makhotkin:

'''Für das Abitur relevant:'''

'''• Summen[http://de.wikipedia.org/wiki/Summenregel]-Faktorregel[http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorregel]

'''• Produktregel[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel]

'''• Kettenregel[http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenregel]

'''• Potenzregel[http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzregel]

'''• Änderungsrate[http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84nderungsrate#Mittlere_.C3.84nderungsrate]

'''• Tangentensteigung

'''• grafisch Ableiten

''Aufgaben zum üben:''

1. Leiten Sie folgende Funktionen dreimal ab: • f(x)= 4e^2x

• f(x)= e^x+4

• f(x)= (x+2)e^x

-> [[Lösungen]]

Übungsaufgaben zum ableiten mit Produkt- und Kettenregel: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p7_diff_int_t_04/p7_diff_int_t_04.htm]

Übungsaufgabensammlung: -> [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p5_diff_05/p5_diff_05.htm]

'''Zur Wiederholung der einzelnen Themen:'''

Ableiten -> Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien S.56ff