Aufgaben zu den Grundlagen über Felder (Lösungen) - Versionsgeschichte

Patrick.Nordmann: /* Potential */

2026-03-23T17:37:52Z

‎Potential

Patrick.Nordmann: /* Potential */

2018-07-18T06:40:53Z

‎Potential

Patrick.Nordmann am 27. Juni 2017 um 16:45 Uhr

2017-06-27T16:45:15Z

Patrick.Nordmann: /* Potential */

2017-06-06T06:46:42Z

‎Potential

Patrick.Nordmann: /* Potential */

2017-06-06T06:27:11Z

‎Potential

Patrick.Nordmann: /* Potential */

2017-06-06T06:25:27Z

‎Potential

Patrick.Nordmann: /* Potential */

2017-05-18T18:04:45Z

‎Potential

Patrick.Nordmann: /* Potential */

2017-05-18T18:02:18Z

‎Potential

Patrick.Nordmann: /* Potential */

2017-05-18T18:00:05Z

‎Potential

Patrick.Nordmann: /* ;5) Mondstation */

2017-05-18T17:48:22Z

‎;5) Mondstation

@@ Zeile 307: / Zeile 307: @@
 ;6) Das Potential der Erde
-Anton steht auf der Erde. Bertha befindet sich einen Erdradius oberhalb der Erdoberfläche in einer Raumkapsel. Cecilie ist zwei Erdradien von der Erde entfernt. (usw.)
+Für den Betrag der Gravitationsfeldstärke der Erde im Abstand r vom Erdmittelpunkt gilt: <math>g(r)=3{,}986\cdot 10^{14}\,\rm \tfrac{Nm^2}{kg} \cdot \frac{1}{r^2}</math> Dabei muss der Abstand r größer als 6370km sein, man muss sich also außerhalb der Erdkugel befinden. Die Feldstärke <math>g(r)</math> ist die räumliche Ableitung des Gravitationspotentials <math>\varphi_g(r)</math>.
-:a) Berechnen Sie die Potentialunterschiede zwischen A und B, B und C, ...
-:b) Berechnen Sie das Potential an den Stellen A, B, C, ...
+:a) Berechne das Gravitationspotential <math>\varphi_g(r)</math>, für das gilt: <math>\varphi_g(6370\,\rm km)=0\,\rm \tfrac{J}{kg}</math>.
 ;7) Ein geostationärer Satellit

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 :Bei einem Höhenunterschied h berechnet sich die potentielle Energie als
 ::<math>E_{pot}=m\,g h = 1\,\rm kg \cdot 9{,}81\,{\rm \frac{N}{kg}}\cdot (1284\,\rm m - 278\,\rm m) =  1\,\rm kg \cdot 9{,}81\,{\rm \frac{N}{kg}}\cdot 1006\,\rm m = 9869 \,\rm Nm = 9{,}869 \,\rm kJ</math>
-:Für die Wasserflasche benötigt man die 15-fache Energiemenge, weil die  potentielle Energie proportional zur Masse ist:
+:Für den Rucksack benötigt man die 15-fache Energiemenge, weil die  potentielle Energie proportional zur Masse ist:
 ::<math>E_{pot}=m\,g h = 15\cdot 9{,}869 \,\rm kJ = 14{,}8 \,\rm kJ</math>
 :b) Wie groß ist die Potentialdifferenz zwischen Freiburg und dem Schauinsland?

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-==Ladung als Quellenstärke und der Fluß eines Feldes==
+==Ladung als Quellenstärke und der Fluss eines Feldes==
 ===Masse der Erde===
 *Wieviel (schwere) Masse hat die Erde?
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 Zwei geladene Platten, je 30cm x 30cm groß, eine mit 8 10<sup>-8</sup> C, die andere mit -8 10<sup>-8</sup> C.
-*Zur Berechnung der Feldstärke legt man eine Fläche um eine Platte ([[Ladung_als_Quellenstärke_und_der_Fluß_eines_Feldes#Homogenes Feld eines Kondensators / Ringmagneten|vgl. hier]]):
+*Zur Berechnung der Feldstärke legt man eine Fläche um eine Platte ([[Ladung_als_Quellenstärke_und_der_Fluss_eines_Feldes#Homogenes Feld eines Kondensators / Ringmagneten|vgl. hier]]):
 ::<math> E= \frac{1}{\epsilon_0} \, \frac{Q}{A} =  \frac{1}{8{,}854 \cdot 10^{-12} \frac {\mathrm{A}\,\mathrm{s}} {\mathrm{V}\,\mathrm{m}} } \cdot \frac{8 \cdot 10^{-8}\,\rm C}{0{,}3\,\rm m\cdot 0{,}3\,\rm m} =  \frac{1}{8{,}854 \cdot 10^{-12} \frac {\mathrm{A}\,\mathrm{s}} {\mathrm{V}\,\mathrm{m}} } \cdot 8{,}89 \cdot 10^{-7}\,{\rm\frac{C}{m^2}} = 100400\,{\rm \frac{V}{m}} </math>
 *Warum ist dabei die Feldstärke zwischen den Platten nicht vom Abstand der Platten abhängig?
-:Wenn man annimmt, dass sich nur zwischen den Platten elektrisches Feld befindet, dann hängt die Feldstärke nur von der Ladungsmenge pro Fläche, der Flächenladungsdichte ab. ([[Ladung als Quellenstärke und der Fluß eines Feldes#Homogenes Feld eines Kondensators / Ringmagneten| Eine genauere Erklärung steht hier.]])
+:Wenn man annimmt, dass sich nur zwischen den Platten elektrisches Feld befindet, dann hängt die Feldstärke nur von der Ladungsmenge pro Fläche, der Flächenladungsdichte ab. ([[Ladung als Quellenstärke und der Fluss eines Feldes#Homogenes Feld eines Kondensators / Ringmagneten| Eine genauere Erklärung steht hier.]])
 Zwischen die Platten wird ein negativ geladener Tischtennisball gehängt. Auf ihn wirkt eine Kraft von 0,01 N.

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 ;4) Ein Satellit im Schwerefeld der Erde
 :a) Wieviel Energie benötigt man, um den Satellit (Masse 800 kg) an die markierte Stelle zu heben?
-:Das Potential steigt ungefähr von -6,2 MJ/kg auf -1,6 MJ/kg. Die Potentialdifferenz beträgt daher:
+:Das Potential steigt ungefähr von -62 MJ/kg auf -16 MJ/kg. Die Potentialdifferenz beträgt daher:
-::<math>\Delta \varphi = 4{,}6\,\rm \frac{MJ}{kg}</math>
+::<math>\Delta \varphi = 46\,\rm \frac{MJ}{kg}</math>
 :Der Zahlenwert gibt an, wieviel Energie man für ein Kilogramm Masse bräuchte. Für den Satelliten braucht man also die Energie:
-::<math>E_{pot} = m\,\rm \Delta \varphi = 500\,\rm kg \cdot 4{,}6\,\rm\frac{MJ}{kg} = 23000\,\rm MJ</math>
+::<math>E_{pot} = m\,\rm \Delta \varphi = 500\,\rm kg \cdot 46\,\rm\frac{MJ}{kg} = 23000\,\rm MJ</math>
 :(Das entspricht dem Energiegehalt von 800l Benzin!)
 :b) Welche Kraft wirkt dort ungefähr auf ihn?
 :Die Steigung des Potentials ist die Feldstärke, die man hier näherungsweise mit dem Differenzenquotienten bestimmt. (Man kann das in dieser [[Animation: Feldstärke und Potential des Gravitationsfeldes der Erde|Animation]] besser als im Bild ablesen.)
 :Das Potential steigt im Abstand von ca. 2,5 Erdradien bis zu 8 Erdradien von ca. -24 MJ/kg auf -8MJ/kg:
-:: <math>g = \varphi ' \approx \frac{\Delta \varphi}{\Delta s} \approx \frac{-8\,\rm \frac{MJ}{kg} - (-23\,\rm \frac{MJ}{kg})}{8\,r_E-2{,}5\,r_E} = \frac{16\,\rm \frac{MJ}{kg}}{5{,}5\,r_E} = \frac{16\cdot 10^{6}\rm \frac{J}{kg}}{5{,}5\cdot 6370 \cdot 10^{3}\,\rm m} \approx 0{,}46\,\rm \frac{N}{kg} </math>
+:: <math>g = \varphi ' \approx \frac{\Delta \varphi}{\Delta s} \approx \frac{-8\,\rm \frac{MJ}{kg} - (-24\,\rm \frac{MJ}{kg})}{8\,r_E-2{,}5\,r_E} = \frac{16\,\rm \frac{MJ}{kg}}{6{,}5\,r_E} = \frac{16\cdot 10^{6}\rm \frac{J}{kg}}{6{,}5\cdot 6370 \cdot 10^{3}\,\rm m} \approx 0{,}39\,\rm \frac{N}{kg} </math>
 :Die Feldstärke beträgt also dort nur noch ein Zwanzigstel der Feldstärke auf der Erde!
 :Dementsprechend klein ist auch die "Gewichtskraft" auf den Satelliten:
-::<math>F = m\, g = 500\,\rm kg \cdot 0{,}46\,\rm \frac{N}{kg} =230\,\rm N</math>
+::<math>F = m\, g = 500\,\rm kg \cdot 0{,}39\,\rm \frac{N}{kg} =190\,\rm N</math>
 {|

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 {|
+|
-[[Datei:Aufgabe_Potential_Satellit.png|400px]]
+[[Datei:Aufgabe_Potential_Satellit_Lösung.png|400px]]
 |valign="top"|
 [[Datei:Cislunar_potential.png|500px]]

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 :(Das entspricht dem Energiegehalt von 800l Benzin!)
 :b) Welche Kraft wirkt dort ungefähr auf ihn?
-:Die Steigung des Potentials ist die Feldstärke, die man hier näherungsweise mit dem Differenzenquotienten bestimmt.
+:Die Steigung des Potentials ist die Feldstärke, die man hier näherungsweise mit dem Differenzenquotienten bestimmt. (Man kann das in dieser [[Animation: Feldstärke und Potential des Gravitationsfeldes der Erde|Animation]] besser als im Bild ablesen.))
 :Das Potential steigt im Abstand von ca. 2,5 Erdradien bis zu 8 Erdradien von ca. -24 MJ/kg auf -8MJ/kg:
 :: <math>g = \varphi ' \approx \frac{\Delta \varphi}{\Delta s} \approx \frac{-8\,\rm \frac{MJ}{kg} - (-23\,\rm \frac{MJ}{kg})}{8\,r_E-2{,}5\,r_E} = \frac{16\,\rm \frac{MJ}{kg}}{5{,}5\,r_E} = \frac{16\cdot 10^{6}\rm \frac{J}{kg}}{5{,}5\cdot 6370 \cdot 10^{3}\,\rm m} \approx 0{,}46\,\rm \frac{N}{kg} </math>
@@ Zeile 288: / Zeile 288: @@
 ::<math>F = m\, g = 500\,\rm kg \cdot 0{,}46\,\rm \frac{N}{kg} =230\,\rm N</math>
 {|
+|
@@ Zeile 295: / Zeile 294: @@
 [[Datei:Cislunar_potential.png|500px]]
 |}
 :a) Wieviel Energie benötigt man, damit man 1 Tonne Nachschub-Material auf eine Mondstation bringen kann?
 :Um über den "Potentialberg" zu kommen, muß man die maximale Potentialdifferenz von <math>\Delta \varphi \approx 60\,\rm \frac{MJ}{kg}</math> überwinden. Danach geht es dann wieder ein wenig "bergab".
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 :<math>E_{pot} = m\,\Delta\,\varphi = 1000\,\rm kg \cdot 58\,\rm \frac{MJ}{kg} = 58.000 \,\rm MJ</math>
 :c) Vergleichen Sie die Energiemengen mit Benzinmengen! (Ein Kilogramm Benzin enthält ca. 43 MJ Energie, ein Liter Benzin ca. 30 MJ.)
-:Man braucht also mindestens 2000l oder 1,3tBenzin, um eine Tonne Nachschub auf den Mond zu bringen! (Man benötigt noch wesentlich mehr, denn für den Flug dorthin muss der Nachschub auch Bewegungsenergie bekommen, die man leider nicht mehr zurückgewinnen kann. Außerdem muss auch die gesamte Rakete mit dem Treibstoff hochgehoben und beschleunigt werden.)
+:Man braucht also mindestens 2000l oder 1,3t Benzin, um eine Tonne Nachschub auf den Mond zu bringen! (Man benötigt noch wesentlich mehr, denn für den Flug dorthin muss der Nachschub auch Bewegungsenergie bekommen, die man leider nicht mehr zurückgewinnen kann. Außerdem muss auch die gesamte Rakete mit dem Treibstoff hochgehoben und beschleunigt werden.)
 ;6) Das Potential der Erde