Die Bewegungsgesetze einer harmonischen Schwingung - Versionsgeschichte

Patrick.Nordmann: /* Links */

2025-08-08T07:05:58Z

‎Links

Patrick.Nordmann: /* DGeschwindigkeit und Beschleunigung */

2025-08-08T07:03:19Z

‎DGeschwindigkeit und Beschleunigung

Patrick.Nordmann: /* Das Ortsgesetz */

2025-08-08T07:03:07Z

‎Das Ortsgesetz

Patrick.Nordmann am 8. August 2025 um 06:55 Uhr

2025-08-08T06:55:16Z

Patrick.Nordmann: /* Links */

2025-07-12T05:17:26Z

‎Links

Patrick.Nordmann: /* Beispiel: Federpendel */

2016-08-18T14:27:23Z

‎Beispiel: Federpendel

Patrick.Nordmann: /* In Abhängigkeit von der Zeit */

2016-08-18T14:24:55Z

‎In Abhängigkeit von der Zeit

Patrick.Nordmann: /* Berechnung des Beschleunigungsgesetzes */

2016-08-18T14:22:20Z

‎Berechnung des Beschleunigungsgesetzes

Patrick.Nordmann am 29. März 2016 um 05:17 Uhr

2016-03-29T05:17:13Z

Patrick.Nordmann: /* In Abhängigkeit von der Zeit */

2016-02-15T21:58:06Z

‎In Abhängigkeit von der Zeit

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 ==Links==
 *[https://www.walter-fendt.de/html5/phde/pendulum_de.htm Applet zum Fadenpendel] Diagramme von Ort, Geschwindigkeit, Kraft, Energie (W.Fendt)
-*[https://www.walter-fendt.de/html5/phde/springpendulum_de.htm.htm Applet zum Federpendel] (W.Fendt)
+*[https://www.walter-fendt.de/html5/phde/springpendulum_de.htm Applet zum Federpendel] (W.Fendt)
 *[http://de.wikipedia.org/wiki/Zeigermodell Wikipedia: Zeigermodell]

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 |}
-==DGeschwindigkeit und Beschleunigung==
+==Geschwindigkeit und Beschleunigung==
 Aus der [[Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit der Zeigerdarstellung|Zeigerdarstellung]] oder aus der [[Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit einer Differentialgleichung|Differentialgleichung]] folgt beidesmal der sinusförmige Verlauf der Elongation, also des Ortes:

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 |}
-==Das Ortsgesetz==
+==DGeschwindigkeit und Beschleunigung==
 Aus der [[Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit der Zeigerdarstellung|Zeigerdarstellung]] oder aus der [[Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit einer Differentialgleichung|Differentialgleichung]] folgt beidesmal der sinusförmige Verlauf der Elongation, also des Ortes:

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 {|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
+|
-:<math>y(t) = \hat y \sin (\omega t) \qquad \hat y</math> ist die maximale Auslenkung (Amplitude).
+:<math> \begin{align}
-:<math> v(t) =  \hat v \cos(\omega t)\qquad \hat v = \hat y \, \omega </math>    ist die maximale Geschwindigkeit.
+ y(t) &= \hat y \sin (\omega \, t)  \\
-:<math>a(t)= \hat a \sin(\omega \, t)\qquad \hat a = -\hat y \, \omega ^2 </math> ist die maximale Beschleunigung.
+ v(t) &= \omega \, \hat y \cos(\omega \, t)       &p(t) &= m\, \omega \, \hat y \cos(\omega \, t)\\
 :<math>F = -D \, y</math>   mit <math>D = m \, \omega^2</math>
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 Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderungsrate des Ortes, also muss man nach der Zeit ableiten. Dabei muss man die Kettenregel beachten.
-:<math>v(t)=\dot s (t) = \dot{\hat y \sin(\omega t)} = \hat y \cos(\omega t) \omega</math>  (Wiederholung: <math>[f(g(t))]'= f'(g(t)) \, g'(t)</math>)
+:<math>v(t)=\dot s (t) = \dot{\hat y \sin(\omega \, t)} = \hat y \cos(\omega \, t) \omega</math>  (Wiederholung: <math>[f(g(t))]'= f'(g(t)) \, g'(t)</math>)
 :<math> v(t) = \hat y \omega \, \cos(\omega t) = \hat v \cos(\omega t)\qquad \qquad \hat v = \hat y \omega </math> ist die maximale Geschwindigkeit.
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 Um die Beschleunigung zu erhalten, muss man die Geschwindigkeit erneut ableiten.
-:<math>a(t) = \dot v(t) = \hat y \omega \, {\dot \cos(\omega t)} = \hat y \omega (-\sin(\omega t)) \omega</math>
+:<math>a(t) = \dot v(t) = \hat y \omega \, {\dot \cos(\omega \, t)} = \hat y \omega (-\sin(\omega \, t)) \omega</math>
-:<math>a(t)=-\hat y \omega^2 \sin(\omega t) = \hat a \sin(\omega \, t)\qquad \qquad \hat a = -\hat y \omega ^2 </math> ist die maximale Beschleunigung.
+:<math>a(t)=-\hat y \omega^2 \sin(\omega \, t) = \hat a \sin(\omega \, t)\qquad \qquad \hat a = -\hat y \omega ^2 </math> ist die maximale Beschleunigung.
 ==Folgerungen aus den Bewegungsgesetzen==

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 ==Links==
-*[http://www.walter-fendt.de/ph14d/fadenpendel.htm Applet zur Sinuskurve des Ortsdiagramms eines Pendels (W.Fendt)]
+*[https://www.walter-fendt.de/html5/phde/pendulum_de.htm Applet zum Fadenpendel] Diagramme von Ort, Geschwindigkeit, Kraft, Energie (W.Fendt)
-*[http://www.walter-fendt.de/ph14d/federpendel.htm Applet zum Federpendel (W.Fendt)]
+*[https://www.walter-fendt.de/html5/phde/springpendulum_de.htm.htm Applet zum Federpendel] (W.Fendt)
-*[http://de.wikipedia.org/wiki/Zeigerdiagramm Wikipedia: Zeigerdiagramm]
+*[http://de.wikipedia.org/wiki/Zeigermodell Wikipedia: Zeigermodell]

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 ==Beispiel: Federpendel==
 [[Bild:Federpendel_paint.JPG|thumb|left|Das Federpendel  benötigt für 10 Schwingungen 12s bei einer Amplitude von 9cm.]]
-:<math>T=1{,}2\, \rm s \qquad f=\frac{1}{1{,}2\, \rm s}\approx 0{,}83 \,\rm Hz \qquad \omega= \frac {2\, \pi}{1{,}2\,\rm s} \approx 5{,}24\,\rm Hz</math>
+:<math>\hat y = 9\,{\rm cm} \qquad T=1{,}2\, \rm s \qquad f=\frac{1}{1{,}2\, \rm s}\approx 0{,}83 \,\rm Hz \qquad \omega= \frac {2\, \pi}{1{,}2\,\rm s} \approx 5{,}24\,\rm Hz</math>
 :<math>s(t)=9\,{\rm cm}  \sin( 5{,}24\,{\rm Hz} \ t)</math>

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 :<math>E_{kin}=\frac{1}{2}m \, v^2 = \frac{p^2}{2\, m}</math>
-Die "restlichen" Energieformen wie Spann- und Lageenergie ergänzen die Bewegungsenergie immer zu einer konstanten Summe. (Zumindest bei einer ungedämpften Schwingung.) Die maximale Bewegungsenergie ist die Energiemenge, die im Laufe der Zeit ständig ihre Form (den Träger wechselt). Diese Energiemenge ist daher auch die Gesamtenergie der Schwingung!
+Die "restlichen" Energieformen wie Spann- und Lageenergie ergänzen die Bewegungsenergie immer zu einer konstanten Summe. (Zumindest bei einer ungedämpften Schwingung.) Die maximale Bewegungsenergie ist die Energiemenge, die im Laufe der Zeit ständig ihre Form (den Träger) wechselt. Diese Energiemenge ist daher auch die Gesamtenergie der Schwingung!
 :<math>E_{kin} = \frac{1}{2} m\, \hat y^2 \omega^2 \cos^2(w\, t) \qquad \qquad \hat E_{kin} = E_{ges} = \frac{1}{2} m \, \hat y^2 \omega^2 </math> ist die maximale Bewegungsenergie.

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		+	([[Inhalt_Kursstufe\|'''Kursstufe''']] > [[Inhalt_Kursstufe#Mechanische Schwingungen\|''' Mechanische Schwingungen''']])
		+
		+
	Ausgehend vom Ortsgesetz <math>y(t) = \hat y \sin (\omega t)</math> kann man alle wichtigen Merkmale einer harmonischen Schwingung relativ einfach mathematisch herleiten:		Ausgehend vom Ortsgesetz <math>y(t) = \hat y \sin (\omega t)</math> kann man alle wichtigen Merkmale einer harmonischen Schwingung relativ einfach mathematisch herleiten:

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 Die Energie einer harmonischen Schwingung ist proportional zur Masse, zum Quadrat der Frequenz und zum Quadrat der Amplitude.
-Wegen <math>\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1</math><ref>Das ist gerade der Satz des Pythagoras mit [[Sinus und Cosinus im Einheitskreis|Sinus und Cosinus im Einheitskreis]].</ref> ist der die Bewegungsenergie ergänze Anteil der potentiellen Energie gerade:
+Wegen <math>\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1</math><ref>Das ist gerade der Satz des Pythagoras mit [[Animation: Sinus und Cosinus im Einheitskreis|Sinus und Cosinus im Einheitskreis]].</ref> ist der die Bewegungsenergie ergänze Anteil der potentiellen Energie gerade:
 :<math>E_{pot}=  \hat E \, \sin^2(w\, t)</math>