Die eulersche Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion - Versionsgeschichte

Patrick.Nordmann: /* Die Differentialgleichung von Exponentialfunktionen */

2017-11-26T21:12:14Z

‎Die Differentialgleichung von Exponentialfunktionen

2017-11-26T21:06:29Z

‎Die Eulersche Zahl e

2017-11-26T21:04:44Z

‎Die Differentialgleichung von Exponentialfunktionen

2017-11-26T21:03:49Z

‎Die Ableitung von Exponentialfunktionen

2017-11-26T20:53:50Z

‎Die Ableitung von Exponentialfunktionen

2017-11-26T19:57:57Z

‎Die Graphen der Exponentialfunktionen mit Startwert 1

2017-11-26T15:46:19Z

‎Ableitungen von beliebigen Exponentialfunktionen

2017-11-26T15:17:50Z

‎Die Graphen der Exponentialfunktionen mit Startwert 1

2017-11-26T15:17:30Z

‎Die Graphen der Exponentialfunktionen mit Startwert 1

2017-11-26T15:16:49Z

‎Exponentialfunktionen

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 :Die Zahl <math>k</math> heißt "Wachstumskonstante":
 ::<math> k > 1 </math>: Exponentielles Wachstum
-::<math> 0 < k < 1 </math>: Exponentieller Zerfall
+::<math> k < 1 </math>: Exponentieller Zerfall
 |}

@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 }}
-==Die Eulersche Zahl e==
+==Die natürliche Exponentialfunktion==
 Die Eulersche Zahl lautet ungefähr:
 <math>e = 2{,}7182818284590452353602874713526624977572470936999595749 \ldots</math><ref>Bei der [https://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil NASA](26.11.2017) gibt's e auf fünf Millionen Nachkommastellen! (von Robert Nemiroff and Jerry Bonnell) </ref>

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 ''Ein'' Grund von vielen ist die Bestimmung der Ableitung von Exponentialfunktionen. Denn was ist z.B. <math>\left(2^x\right)'</math>?
-===Die Differentialgleichung von Exponentialfunktionen===
+=====Die Differentialgleichung von Exponentialfunktionen=====
 An den Beispielen mit den Bakterien oder dem radioaktiven Iod sieht man:
 *Je größer der Bestand, desto größer die Änderungsrate.

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 ''Ein'' Grund von vielen ist die Bestimmung der Ableitung von Exponentialfunktionen. Denn was ist z.B. <math>\left(2^x\right)'</math>?
-===Die Ableitung von Exponentialfunktionen===
+===Die Differentialgleichung von Exponentialfunktionen===
 An den Beispielen mit den Bakterien oder dem radioaktiven Iod sieht man:
 *Je größer der Bestand, desto größer die Änderungsrate.

@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
 An den Beispielen mit den Bakterien oder dem radioaktiven Iod sieht man:
 *Je größer der Bestand, desto größer die Änderungsrate.
 Diese Aussage kann man auch mathematisch präziser formulieren und mit Hilfe des Differenzenquotienten beweisen:
 {|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "

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 ===Die Graphen der Exponentialfunktionen mit Startwert 1===
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 Bei Produkten oder Verkettungen muss man dementsprechend Produkt- und Kettenregel anwenden.
-Will man eine Exponentialfunktion ableiten, welche nicht die Basis e hat, so muss man sie vorher in die Basis e umschreiben:
+Will man eine Exponentialfunktion ableiten, welche nicht die Basis e hat, so muss man sie vorher in die Basis e umschreiben. Dazu benötigt man den natürlichen Logarithmus, kurz <math>\ln(x)</math>. Der natürliche Logarithmus von 2 ist die Zahl, mit der man e potenzieren muss, um 2 zu erhalten:
 :<math>2^x = \left(e^? \right)^x \qquad ? =\ln (2)\approx 0{,}693 </math>
 :<math> 2^x = \left(e^ {\ln (2)} \right)^x = e^{\ln (2) \cdot x}  \approx e^{0{,}693 \cdot x}</math>
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 :Man kann jede Exponentialfunktion zur Basis <math>e</math> schreiben:
 ::<math>f(x) = b^x = \left( e^{\ln (b)} \right)^x = e^{\ln(b)\cdot x} </math>
 :Die Wachstumskonstante ist <math>\ln (b)</math>.
 ::<math>f'(x) = \ln(b) \cdot f(x)</math>
 |}
 ==Fußnoten==
 <references />

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
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 }}

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 Exponentialfunktionen beschreiben exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall. Dabei wird  ein Anfangswert <math>f(0)</math> immer wieder mit einer festen Basis <math>b</math>, die man auch Wachstumsfaktor nennt, multipliziert:
 "Das menschliche Darmbakterium Escherichia coli hat unter Idealbedingungen in Laborkulturen eine Generationszeit von etwa 20 Minuten."<ref> Wikipedia: [https://de.wikipedia.org/wiki/Bakterielles_Wachstum#Exponentielle_Phase_.28log.29 Bakterielles_Wachstum] (26.11.2017)</ref>
-−
+|
 {|class="wikitable"
 |Zeitschritte (je 20min)||0||1||2||3||4||...||<math>x</math>
@@ Zeile 10: / Zeile 12: @@
 |Anzahl ||1||2||4||8||16||...||<math>2^x</math>
 |}
+|-
 Das radioaktive Iod-Isotop 131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen:<ref>Wikipedia: [https://de.wikipedia.org/wiki/Iod#Isotope Iodisotope] (26.11.2017)</ref>
-−
+|
 {|class="wikitable"
 |Zeitschritte (je 8Tage)||0||1||2||3||4||...||<math>x</math>
 |-
 |Masse (in g)||100||50||25||12,5||6,25||...||<math>100\cdot 0{,}5^x</math>
 |}