Gedämpfte Schwingungen - Versionsgeschichte

Patrick.Nordmann: /* Verschiedene Fälle der Bewegung */

2025-12-01T15:44:03Z

‎Verschiedene Fälle der Bewegung

Patrick.Nordmann: /* Verschiedene Bewegungsmöglichkeiten */

2025-12-01T14:34:22Z

‎Verschiedene Bewegungsmöglichkeiten

Patrick.Nordmann: /* Verschiedene Bewegungsmöglichkeiten */

2025-11-30T23:40:00Z

‎Verschiedene Bewegungsmöglichkeiten

Patrick.Nordmann: /* Theoretischer Hintergrund */

2025-11-30T23:35:11Z

‎Theoretischer Hintergrund

Patrick.Nordmann am 29. März 2016 um 05:19 Uhr

2016-03-29T05:19:22Z

Patrick.Nordmann: /* Links */

2015-02-23T09:40:10Z

‎Links

Patrick.Nordmann: /* Links */

2015-02-23T09:38:24Z

‎Links

Patrick.Nordmann am 23. Februar 2015 um 08:37 Uhr

2015-02-23T08:37:35Z

Patrick.Nordmann: hat „GedÃ¤mpfte Schwingungen“ nach „Gedämpfte Schwingungen“ verschoben: Falsches ä

2012-01-18T22:27:52Z

hat „GedÃ¤mpfte Schwingungen“ nach „Gedämpfte Schwingungen“ verschoben: Falsches ä

Katharina.Moser: /* Aufgaben */

2006-12-11T15:49:57Z

‎Aufgaben

@@ Zeile 50: / Zeile 50: @@
 :<math>
 \begin{align}
 &&\delta ^2 &< {\omega_0}^2\\
 \Leftrightarrow &&\frac{k^2}{4\, m^2} &< \frac{D}{m}\\
 \Leftrightarrow &&k^2 &< 4\, D\, m\\
@@ Zeile 57: / Zeile 59: @@
-:<math>y(\, t)=\hat y_0 \, e^{-\delta\, t}\cos(\omega \, t) \qquad\textrm{mit} \quad \omega^2={\omega_0}^2 -\delta ^2</math>
+:<math>y(\, t)=\hat y \, e^{-\delta\, t}\cos(\omega \, t) \qquad\textrm{mit} \quad \omega^2={\omega_0}^2 -\delta ^2</math>
 Die Amplitude nimmt exponentiell ab.
 ;2) aperiodischer Grenzfall
-:<math>\quad \delta^2 = {\omega_0}^2 \quad \Leftrightarrow \quad k^2  =  4\,D\,m </math>
+:<math>
 ;3) Kriechfall (starke Dämpfung)
 :<math>\quad \delta^2 > {\omega_0}^2 \quad \Leftrightarrow \quad k^2  >  4\,D\,m </math>
-:<math>y(t) = \hat y_0 \quad e^{-K t} \quad\textrm{mit} \quad K = k-\sqrt{k^2 - {\omega_0}^2}</math>
+                && 0 & > {\omega_0}^2 - \delta ^2 \\
 ===Bei einem Strömungswiderstand und "großer" Geschwindigkeit===

@@ Zeile 44: / Zeile 44: @@
 </math>
-====Verschiedene Bewegungsmöglichkeiten====
+====Verschiedene Fälle der Bewegung====
-Je nach Wert des sogenannten Dämpfungskoeffizienten <math>\delta = \frac{k}{2\, m}</math> erhält man verschiedene Lösungen der DGL und somit grundsätzlich verschiedene Bewegungstypen. Dazu vergleicht man den Dämpfungskoeffizienten <math\delta</math> mit der Kreisfrequenz <math>\omega_0</math> der freien, ungedämpften Schwingung:
+Je nach Wert des sogenannten Dämpfungskoeffizienten <math>\delta = \frac{k}{2\, m}</math> erhält man verschiedene Lösungen der DGL und somit grundsätzlich verschiedene Bewegungstypen. Dazu vergleicht man den Dämpfungskoeffizienten <math>\delta</math> mit der Kreisfrequenz <math>\omega_0</math> der freien, ungedämpften Schwingung:
-;1) Schwingfall
+;1) Schwingfall (schwache Dämpfung))
 :<math>
 \begin{align}
@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
-:<math>y(\, t)=\hat y_0 e^{-\delta\, t}\sin (\omega \, t)</math> mit <math>\omega^2={\omega_0}^2 -\delta ^2</math>
+:<math>y(\, t)=\hat y_0 \, e^{-\delta\, t}\cos(\omega \, t) \qquad\textrm{mit} \quad \omega^2={\omega_0}^2 -\delta ^2</math>
 Die Amplitude nimmt exponentiell ab.
-=====aperiodischer Grenzfall=====
+;2) aperiodischer Grenzfall
-:<math>\quad \mathrm{k^2} \, = \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, = \, 4 \mathrm{D m}</math>
+:<math>\quad \delta^2 = {\omega_0}^2 \quad \Leftrightarrow \quad k^2  =  4\,D\,m </math>
-=====Kriechfall=====
+;3) Kriechfall (starke Dämpfung)
-:<math>\quad \mathrm{k^2} \, > \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, > \, 4 \mathrm{D m}</math>
+:<math>\quad \delta^2 > {\omega_0}^2 \quad \Leftrightarrow \quad k^2  >  4\,D\,m </math>
-:<math>\mathrm{ y(t) = \hat y_0 \quad e^{-K t} }\quad</math> mit <math>\quad\mathrm{K = k-sqrt{k^2 - \omega_0^2}}</math>
+:<math>y(t) = \hat y_0 \quad e^{-K t} \quad\textrm{mit} \quad K = k-\sqrt{k^2 - {\omega_0}^2}</math>
 ===Bei einem Strömungswiderstand und "großer" Geschwindigkeit===

@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
-:<math>\quad \mathrm{k^2} \, < \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, < \, 4 \mathrm{D m}</math>
+:<math>y(\, t)=\hat y_0 e^{-\delta\, t}\sin (\omega \, t)</math> mit <math>\omega^2={\omega_0}^2 -\delta ^2</math>
-:<math>y(\, t)=\hat y_o e^{-kt}\sin (\omega t + \varphi)</math>     (<math>\delta</math>: Dämpfungskoeffizient)
-:<math>k={r\over{2m}}</math>             <math>\omega^2={\omega_o}^2-k^2</math>
-Amplitude nimmt exponentiell ab
+Die Amplitude nimmt exponentiell ab.
 =====aperiodischer Grenzfall=====
@@ Zeile 71: / Zeile 69: @@
 :<math>\mathrm{ y(t) = \hat y_0 \quad e^{-K t} }\quad</math> mit <math>\quad\mathrm{K = k-sqrt{k^2 - \omega_0^2}}</math>
 ===Bei einem Strömungswiderstand und "großer" Geschwindigkeit===

@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 Laminare Strömung ohne Wirbel
-:<math>F_{R}</math><math>\sim v</math>
+<math>F_{R}\sim v </math>
-Amplitude nimmt exponentiell ab
+:<math>
-:'''DGL:''' <math>m\ddot y=-Dy-r\dot y</math>          (<math>r</math>: Reibungskoeffizient)
+\begin{align}
-:<math>\ddot y=-{D\over m}y-{r\over m}\dot y</math>
+\text{DGL:} \quad m\, \ddot y &=-D\, y -k\, \dot y \quad(k:Reibungskoeffizient)\\
 :<math>\quad \mathrm{k^2} \, < \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, < \, 4 \mathrm{D m}</math>
-:<math>y(\, t)=\hat y_o e^{-kt}\sin (\omega t + \varphi)</math>     (<math>k</math>: Dämpfungskoeffizient)
+:<math>y(\, t)=\hat y_o e^{-kt}\sin (\omega t + \varphi)</math>     (<math>\delta</math>: Dämpfungskoeffizient)
 :<math>k={r\over{2m}}</math>             <math>\omega^2={\omega_o}^2-k^2</math>
 =====aperiodischer Grenzfall=====

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2016, 05:19 Uhr
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		+	([[Inhalt_Kursstufe\|'''Kursstufe''']] > [[Inhalt_Kursstufe#Mechanische Schwingungen\|''' Mechanische Schwingungen''']])
		+
		+
	==Merkmale einer gedämpften Schwingung==		==Merkmale einer gedämpften Schwingung==

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 ==Links==
 *[http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/schwingungen/gedaempft/gedaempft.vlu/Page/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/schwingungen/gedaempft/ged_stokes.vscml.html chempedia]
 *[http://www.ahoefler.de/schwingungen/gedaempfte_harmonische_schwingung/gedaempfte_harmonische_schwingung.php ]

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 :'''DGL:''' <math>m\ddot y=-Dy-r\dot y^2</math>    <math>\Rightarrow</math><u>ist nicht exakt lösbar!</u> ''(nur näherungsweise mit Computer)
 ''
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 . ''Die Dämpfung bei einem Auto ist unsymmetrisch. Sie ist beim Zusammendrücken stärker, als beim Auseinanderziehen. Warum ist es so?''Da die Straße nicht immer eben ist, muss durch eine Dämpfung ein Ausgleich geschaffen werden. Sie ist daher asymmetrisch, weil z.B. bei einem Schlagloch der Ausgleich nur auf einer Seite sein muss.

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 ===Bei Gleitreibung===
 Die Amplitude nimmt linear ab, die Frequenz ändert sich nicht.
-<br/><br/><math>F_{R}=const.</math>
+:<math>F_{R}=const.</math>
-<br/>
+:'''DGL:''' <math>m\ddot y=-Dy\pm F_R</math>
- <br/>'''DGL:''' <math>m\ddot y=-Dy\pm F_R</math>
 ===Bei einem Strömungswiderstand und "kleiner" Geschwindigkeit===
 Laminare Strömung ohne Wirbel
-<br/>
+:<math>F_{R}</math><math>\sim v</math>
-<br/><math>F_{R}</math><math>\sim v</math>
+Amplitude nimmt exponentiell ab
-<br/>
+:'''DGL:''' <math>m\ddot y=-Dy-r\dot y</math>          (<math>r</math>: Reibungskoeffizient)
-<br/>Amplitude nimmt exponentiell ab
+:<math>\ddot y=-{D\over m}y-{r\over m}\dot y</math>
-<br/>
- <br/> '''DGL:''' <math>m\ddot y=-Dy-r\dot y</math>          (<math>r</math>: Reibungskoeffizient)
-   <br/>        <math>\ddot y=-{D\over m}y-{r\over m}\dot y</math>
-−
 =====Schwingfall=====
-<math>\quad \mathrm{k^2} \, < \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, < \, 4 \mathrm{D m}</math>
+:<math>\quad \mathrm{k^2} \, < \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, < \, 4 \mathrm{D m}</math>
+:<math>y(\, t)=\hat y_o e^{-kt}\sin (\omega t + \varphi)</math>     (<math>k</math>: Dämpfungskoeffizient)
- <br/>  <math>\operatorname{y(}\, t)=\hat y_oe^{-kt}\sin {(\omega t + \varphi)</math>     (<math>k</math>: Dämpfungskoeffizient)
+:<math>k={r\over{2m}}</math>             <math>\omega^2={\omega_o}^2-k^2</math>
- <br/>     <math>k={r\over{2m}}</math>             <math>\omega^2={\omega_o}^2-k^2</math>
 =====aperiodischer Grenzfall=====
-<math>\quad \mathrm{k^2} \, = \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, = \, 4 \mathrm{D m}</math>
+:<math>\quad \mathrm{k^2} \, = \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, = \, 4 \mathrm{D m}</math>
 =====Kriechfall=====
-<math>\quad \mathrm{k^2} \, > \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, > \, 4 \mathrm{D m}</math>
+:<math>\quad \mathrm{k^2} \, > \, \omega_0^2 \quad \Leftrightarrow \quad r^2 \, > \, 4 \mathrm{D m}</math>
-<math>\mathrm{ y(t) = \hat y_0 \quad e^{-K t} }\quad</math> mit <math>\quad\mathrm{K = k-sqrt{k^2 - \omega_0^2}}</math>
+:<math>\mathrm{ y(t) = \hat y_0 \quad e^{-K t} }\quad</math> mit <math>\quad\mathrm{K = k-sqrt{k^2 - \omega_0^2}}</math>
@@ Zeile 64: / Zeile 58: @@
 ===Bei einem Strömungswiderstand und "großer" Geschwindigkeit===
 Strömung mit Wirbelbildung
-<br/>
+:<math>F_{R}\sim v^2</math>
-<br/><math>F_{R}\sim v^2</math>
+:'''DGL:''' <math>m\ddot y=-Dy-r\dot y^2</math>    <math>\Rightarrow</math><u>ist nicht exakt lösbar!</u> ''(nur näherungsweise mit Computer)
-<br/>
- <br/>'''DGL:''' <math>m\ddot y=-Dy-r\dot y^2</math>    <math>\Rightarrow</math><u>ist nicht exakt lösbar!</u> ''(nur näherungsweise mit Computer)
 ''

← Nächstältere Version	Version vom 18. Januar 2012, 22:27 Uhr
(kein Unterschied)

← Nächstältere Version		Version vom 11. Dezember 2006, 15:49 Uhr
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	1. ''Was muss man bedenken, wenn man die Dämpfung einer LKW-Feder plant?''Da der LKW schwere Last transportieren muss, braucht er eine gewisse Schwingung.Unbeladen schaukelt er dann zwar stark, aber mit Last wäre er sonst eine Gefährdung.		1. ''Was muss man bedenken, wenn man die Dämpfung einer LKW-Feder plant?''Da der LKW schwere Last transportieren muss, braucht er eine gewisse Schwingung.Unbeladen schaukelt er dann zwar stark, aber mit Last wäre er sonst eine Gefährdung.

−	2. ''Die Dämpfung bei einem Auto ist unsymmetrisch. Sie ist beim ~~zusammendrücken~~ stärker, als beim Auseinanderziehen. Warum ist es so?''Da die Straße nicht immer eben ist, muss durch eine Dämpfung ein Ausgleich geschaffen werden. Sie ist daher asymmetrisch, weil z.B. bei einem Schlagloch der Ausgleich nur auf einer Seite sein muss.	+	2. ''Die Dämpfung bei einem Auto ist unsymmetrisch. Sie ist beim Zusammendrücken stärker, als beim Auseinanderziehen. Warum ist es so?''Da die Straße nicht immer eben ist, muss durch eine Dämpfung ein Ausgleich geschaffen werden. Sie ist daher asymmetrisch, weil z.B. bei einem Schlagloch der Ausgleich nur auf einer Seite sein muss.