Lösungen - Versionsgeschichte

Julian.Makhotkin am 20. Januar 2012 um 15:18 Uhr

2012-01-20T15:18:40Z

Julian.Makhotkin am 20. Januar 2012 um 15:13 Uhr

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Julian.Makhotkin am 20. Januar 2012 um 15:07 Uhr

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Julian.Makhotkin am 20. Januar 2012 um 14:51 Uhr

2012-01-20T14:51:59Z

Julian.Makhotkin am 19. Januar 2012 um 14:43 Uhr

2012-01-19T14:43:58Z

Julian.Makhotkin am 17. Januar 2012 um 17:13 Uhr

2012-01-17T17:13:11Z

Julian.Makhotkin am 17. Januar 2012 um 15:10 Uhr

2012-01-17T15:10:04Z

Julian.Makhotkin am 16. Januar 2012 um 22:18 Uhr

2012-01-16T22:18:23Z

Julian.Makhotkin am 16. Januar 2012 um 21:56 Uhr

2012-01-16T21:56:28Z

Julian.Makhotkin am 16. Januar 2012 um 21:38 Uhr

2012-01-16T21:38:40Z

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   '''2.'''1  Aufgabe 1: - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden
-  Exponenten besteht. Oder wenn gilt: f(-x)=f(x) z.B. f(-2)=f(2)
+  Exponenten besteht. Oder wenn gilt: f(-x)= f(x) z.B. f(-2)= f(2)
   - Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht.
-  oder wenn gilt: f(-x)=-f(x) z.B. f(-3)=-f(3)
+  oder wenn gilt: f(-x)= -f(x) z.B. f(-3)= -f(3)
-  '''2.'''1  Aufgabe 2: P1(0|0) ist Sattelpunkt <math>\rightarrow</math> 3-fache Nullstelle
+  '''2.'''1  Aufgabe 2: <math>P_1</math>(0|0) ist Sattelpunkt <math>\rightarrow</math> 3-fache Nullstelle
-                        Px(3|0) ist einfache Nullstelle
+                        <math>P_x</math>(3|0) ist einfache Nullstelle
-                        <math>\rightarrow</math> Ansatz: f(x)= a_4 x^3(x-3)
+                        <math>\rightarrow</math> Ansatz: f(x)= <math>a_4</math> <math>x^3</math>(x-3)
-                        P2(2|-2): f(2)= -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <math>\leftrightarrow</math> -8a_4 = -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 = <math>\frac{1}{4}</math>
+                        P2(2|-2): f(2)= -2 <math>\leftrightarrow</math> <math>a_4</math> * <math>2^3</math>(2-3)= -2 <math>\leftrightarrow</math> <math>-8a_4</math> = -2 <math>\leftrightarrow</math> <math>a_4</math> = <math>\frac{1}{4}</math>
-                        Funktionsgleichung: f(x)= <math>\frac{1}{4}</math>x^3(x-3) = <math>\frac{1}{4}</math>x^4 - <math>\frac{3}{4}</math>x^3
+                        Funktionsgleichung: f(x)= <math>\frac{1}{4}</math><math>x^3</math>(x-3) = <math>\frac{1}{4}</math><math>x^4</math> - <math>\frac{3}{4}</math><math>x^3</math>
-  '''2.'''1  Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=x^4
+  '''2.'''1  Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=<math>x^4</math>
-                           Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=(x-3)^4
+                           Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=<math>(x-3)^4</math>
-                           Streckung um den Faktor 2: g(x)=2(x-3)^
+                           Streckung um den Faktor 2: g(x)=<math>2(x-3)^4</math>
-                           Neue Funktionsgleichung: g(x)=2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162
+                           Neue Funktionsgleichung: g(x)=<math>2x^4</math> - <math>24x^3</math> + <math>108x^2</math> - 216x + 162
-                  b) Achsensymmetrie: g(-x)=g(x)
+                  b) Achsensymmetrie: g(-x)= g(x)
-                           g(x) = 2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162
+                           g(x) = <math>2x^4</math> - <math>24x^3</math> + <math>108x^2</math> - 216x + 162
-                           g(-x)= 2(-x)^4 - 24(-x)^3 + 108(-x)^2 -216(-x) + 162
+                           g(-x)= <math>2(-x)^4</math> - <math>24(-x)^3</math> + <math>108(-x)^2</math> -216(-x) + 162
-                                = 2x^4 + 24x^3 + 108x^2 + 216x + 162
+                                = <math>2x^4</math> + <math>24x^3</math> + <math>108x^2</math> + 216x + 162
                            <math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht achsensymmetrisch.
                      Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x)         (g(-x) siehe oben)
-                           -g(x)= -2x^4 + 24x^3 - 108x^2 + 216x - 162
+                           -g(x)= <math>-2x^4</math> + <math>24x^3</math> - <math>108x^2</math> + 216x - 162
                            <math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ -g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht punktsymmetrisch

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   '''2.'''2  Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen
-  '''2.'''2  Aufgabe 2: f(x)= <math>\frac{1}{2}</math>x^3 - 3x^2 <math>\rightarrow</math> keine Symmetrie!
+  '''2.'''2  Aufgabe 2: f(x)= <math>\frac{1}{2}</math><math>x^3</math> <math>- 3x^2</math> <math>\rightarrow</math> keine Symmetrie!
-                        f(x)=0 <math>\leftrightarrow</math> x^2 ( <math>\frac{1}{2x}</math> - 3) = 0
+                        f(x)=0 <math>\leftrightarrow</math> <math>x^2</math> ( <math>\frac{1}{2}</math>x - 3) = 0
-                        <math>\rightarrow</math> x_1/2 = 0    x_3= 6
+                        <math>\rightarrow</math> <math>x_{1/2}</math> = 0    <math>x_3</math> = 6
-  '''2.'''2  Aufgabe 3: f(x)= 4x^3 + 12x^2
+  '''2.'''2  Aufgabe 3:       f(x)= <math>4x^3</math> + <math>12x^2</math>
-                        f´(x)= 12x^2 + 24x
+                        f´(x)= <math>12x^2</math> + 24x
                         f´´(x)= 24x + 24
                         f´´´(x)= 24
-                        f´(x)= 0
+                        f´(x)    = 0
 x + 24 = 0
-                        x = -1
+                        x       = -1
                         f´´´(x) ≠ 0
                         f´´´(-1)= 24

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                         Px(3|0) ist einfache Nullstelle
                         <math>\rightarrow</math> Ansatz: f(x)= a_4 x^3(x-3)
-                        P2(2|-2): f(2)= -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <math>\leftrightarrow</math> -8a_4 = -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 = 1/4
+                        P2(2|-2): f(2)= -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <math>\leftrightarrow</math> -8a_4 = -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 = <math>\frac{1}{4}</math>
-                        Funktionsgleichung: f(x)= 1/4x^3(x-3) = 1/4x^4 - 3/4x^3
+                        Funktionsgleichung: f(x)= <math>\frac{1}{4}</math>x^3(x-3) = <math>\frac{1}{4}</math>x^4 - <math>\frac{3}{4}</math>x^3
   '''2.'''1  Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=x^4
@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
   '''2.'''2  Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen
-  '''2.'''2  Aufgabe 2: f(x)= 1/2x^3 - 3x^2 <math>\rightarrow</math> keine Symmetrie!
+  '''2.'''2  Aufgabe 2: f(x)= <math>\frac{1}{2}</math>x^3 - 3x^2 <math>\rightarrow</math> keine Symmetrie!
-                        f(x)=0 <math>\leftrightarrow</math> x^2 ( 1/2x - 3) = 0
+                        f(x)=0 <math>\leftrightarrow</math> x^2 ( <math>\frac{1}{2x}</math> - 3) = 0
                         <math>\rightarrow</math> x_1/2 = 0    x_3= 6
@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
-  '''2.'''3  Aufgabe 1:       • f´(x)= 8 e^2x   , f´´(x)= 16 e^2x  , f´´´(x)= 32 e^2x
+  '''2.'''3  Aufgabe 1:       • f´(x)= <math>8 e^{2x}</math>     , f´´(x)= <math>16 e^{2x}</math>     , f´´´(x)= <math>32 e^{2x}</math>
-                        • f´(x)= e^x+4    , f´´(x)= e^x+4    , f´´´(x)= e^x+4
+                        • f´(x)= <math>e^{x+4}</math>     , f´´(x)= <math>e^{x+4}</math>     , f´´´(x)= <math>e^{x+4}</math>
-                        • f´(x)= (x+3)e^x , f´´(x)= (x+4)e^x , f´´´(x)= (x+5)e^x
+                        • f´(x)= <math>(x+3)e^x</math> , f´´(x)= <math>(x+4)e^x</math> , f´´´(x)= <math>(x+5)e^x</math>

@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
   oder wenn gilt: f(-x)=-f(x) z.B. f(-3)=-f(3)
-  '''2.'''1  Aufgabe 2: P1(0|0) ist Sattelpunkt -> 3-fache Nullstelle
+  '''2.'''1  Aufgabe 2: P1(0|0) ist Sattelpunkt <math>\rightarrow</math> 3-fache Nullstelle
                         Px(3|0) ist einfache Nullstelle
-                        -> Ansatz: f(x)= a_4 x^3(x-3)
+                        <math>\rightarrow</math> Ansatz: f(x)= a_4 x^3(x-3)
-                        P2(2|-2): f(2)= -2 <-> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <-> -8a_4 = -2 <-> a_4 = 1/4
+                        P2(2|-2): f(2)= -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <math>\leftrightarrow</math> -8a_4 = -2 <math>\leftrightarrow</math> a_4 = 1/4
                         Funktionsgleichung: f(x)= 1/4x^3(x-3) = 1/4x^4 - 3/4x^3
@@ Zeile 26: / Zeile 26: @@
                            g(-x)= 2(-x)^4 - 24(-x)^3 + 108(-x)^2 -216(-x) + 162
                                 = 2x^4 + 24x^3 + 108x^2 + 216x + 162
-                           -> g(-x) ≠ g(x) -> Der Graph ist nicht achsensymmetrisch.
+                           <math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht achsensymmetrisch.
                      Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x)         (g(-x) siehe oben)
                            -g(x)= -2x^4 + 24x^3 - 108x^2 + 216x - 162
-                           -> g(-x) ≠ -g(x) -> Der Graph ist nicht punktsymmetrisch
+                           <math>\rightarrow</math> g(-x) ≠ -g(x) <math>\rightarrow</math> Der Graph ist nicht punktsymmetrisch
   '''2.'''2  Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen
-  '''2.'''2  Aufgabe 2: f(x)= 1/2x^3 - 3x^2 -> keine Symmetrie!
+  '''2.'''2  Aufgabe 2: f(x)= 1/2x^3 - 3x^2 <math>\rightarrow</math> keine Symmetrie!
-                        f(x)=0 <-> x^2 ( 1/2x - 3) = 0
+                        f(x)=0 <math>\leftrightarrow</math> x^2 ( 1/2x - 3) = 0
-                        -> x_1/2 = 0    x_3= 6
+                        <math>\rightarrow</math> x_1/2 = 0    x_3= 6
   '''2.'''2  Aufgabe 3: f(x)= 4x^3 + 12x^2

← Nächstältere Version		Version vom 19. Januar 2012, 14:43 Uhr
Zeile 51:		Zeile 51:

	An der Stelle -1 liegt eine Wendestelle vor!		An der Stelle -1 liegt eine Wendestelle vor!
		+
		+
		+	'''2.'''3 Aufgabe 1: • f´(x)= 8 e^2x , f´´(x)= 16 e^2x , f´´´(x)= 32 e^2x
		+	• f´(x)= e^x+4 , f´´(x)= e^x+4 , f´´´(x)= e^x+4
		+	• f´(x)= (x+3)e^x , f´´(x)= (x+4)e^x , f´´´(x)= (x+5)e^x

← Nächstältere Version		Version vom 17. Januar 2012, 17:13 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:
	f(x)=0 <-> x^2 ( 1/2x - 3) = 0		f(x)=0 <-> x^2 ( 1/2x - 3) = 0
	-> x_1/2 = 0 x_3= 6		-> x_1/2 = 0 x_3= 6
		+
		+	'''2.'''2 Aufgabe 3: f(x)= 4x^3 + 12x^2
		+	f´(x)= 12x^2 + 24x
		+	f´´(x)= 24x + 24
		+	f´´´(x)= 24
		+
		+	f´(x)= 0
		+	24x + 24 = 0
		+
		+	x = -1
		+	f´´´(x) ≠ 0
		+	f´´´(-1)= 24
		+
		+	An der Stelle -1 liegt eine Wendestelle vor!

← Nächstältere Version		Version vom 16. Januar 2012, 22:18 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	-g(x)= -2x^4 + 24x^3 - 108x^2 + 216x - 162		-g(x)= -2x^4 + 24x^3 - 108x^2 + 216x - 162
	-> g(-x) ≠ -g(x) -> Der Graph ist nicht punktsymmetrisch		-> g(-x) ≠ -g(x) -> Der Graph ist nicht punktsymmetrisch
		+
		+
		+	'''2.'''2 Aufgabe 1: höchstens 10 Nullstellen

← Nächstältere Version		Version vom 16. Januar 2012, 21:56 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:
	P2(2\|-2): f(2)= -2 <-> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <-> -8a_4 = -2 <-> a_4 = 1/4		P2(2\|-2): f(2)= -2 <-> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <-> -8a_4 = -2 <-> a_4 = 1/4
	Funktionsgleichung: f(x)= 1/4x^3(x-3) = 1/4x^4 - 3/4x^3		Funktionsgleichung: f(x)= 1/4x^3(x-3) = 1/4x^4 - 3/4x^3
		+
		+	'''2.'''1 Aufgabe 3: a) Ausgangsfunktion: f(x)=x^4
		+	Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: f1(x)=(x-3)^4
		+	Streckung um den Faktor 2: g(x)=2(x-3)^4
		+	Neue Funktionsgleichung: g(x)=2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162
		+
		+	b) Achsensymmetrie: g(-x)=g(x)
		+	g(x) = 2x^4 - 24x^3 + 108x^2 - 216x + 162
		+	g(-x)= 2(-x)^4 - 24(-x)^3 + 108(-x)^2 -216(-x) + 162
		+	= 2x^4 + 24x^3 + 108x^2 + 216x + 162
		+	-> g(-x) ≠ g(x) -> Der Graph ist nicht achsensymmetrisch.
		+	Punktsymmetrie: g(-x) = -g(x) (g(-x) siehe oben)
		+	-g(x)= -2x^4 + 24x^3 - 108x^2 + 216x - 162
		+	-> g(-x) ≠ -g(x) -> Der Graph ist nicht punktsymmetrisch

← Nächstältere Version		Version vom 16. Januar 2012, 21:38 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	- Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht.		- Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht.
	oder wenn gilt: f(-x)=-f(x) z.B. f(-3)=-f(3)		oder wenn gilt: f(-x)=-f(x) z.B. f(-3)=-f(3)
		+
		+	'''2.'''1 Aufgabe 2: P1(0\|0) ist Sattelpunkt -> 3-fache Nullstelle
		+	Px(3\|0) ist einfache Nullstelle
		+	-> Ansatz: f(x)= a_4 x^3(x-3)
		+	P2(2\|-2): f(2)= -2 <-> a_4 * 2^3(2-3)= -2 <-> -8a_4 = -2 <-> a_4 = 1/4
		+	Funktionsgleichung: f(x)= 1/4x^3(x-3) = 1/4x^4 - 3/4x^3