Materiewellen nach de Broglie - Versionsgeschichte

Patrick.Nordmann: Änderung 16890 von Patrick.Nordmann (Diskussion) rückgängig gemacht.

2023-02-04T16:47:56Z

Änderung 16890 von Patrick.Nordmann (Diskussion) rückgängig gemacht.

Patrick.Nordmann am 4. Februar 2023 um 16:43 Uhr

2023-02-04T16:43:54Z

Patrick.Nordmann: /* Animation: Maxima des Debye-Scherrer-Verfahrens / Pulver-Verfahrens */

2022-12-01T08:35:19Z

‎Animation: Maxima des Debye-Scherrer-Verfahrens / Pulver-Verfahrens

Patrick.Nordmann: /* Animation: Braggsche Interferenz-Bedingung */

2022-12-01T08:33:49Z

‎Animation: Braggsche Interferenz-Bedingung

Patrick.Nordmann am 1. Dezember 2022 um 08:33 Uhr

2022-12-01T08:33:02Z

Patrick.Nordmann am 30. Januar 2018 um 13:36 Uhr

2018-01-30T13:36:25Z

Patrick.Nordmann: /* Erklärung */

2017-11-06T11:40:35Z

‎Erklärung

Patrick.Nordmann: /* Erklärung */

2017-11-06T11:09:18Z

‎Erklärung

Patrick.Nordmann: /* Erklärung */

2017-11-06T11:06:30Z

‎Erklärung

Patrick.Nordmann: /* Beobachtung */

2017-11-06T11:03:50Z

‎Beobachtung

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 Welche Frequenz oder Wellenlänge sollte dann so einer Welle zugeordnet werden? Bisher kennen wir nur die Energie, Masse und den Impuls eines Photons:
 :<math>E=m\,c^2=h\,f \qquad p=\frac{h}{\lambda}</math>
-Dieser grundlegende Zusammenhang kann verallgemeinert werden. Um einem Materieteilchen die Welleneigenschaft der Frequenz oder der Wellenlänge zuzuordnen, lößt man einfach auf:
+Bei der Berechnung der Energie und der Masse ist es wesentlich, dass das Photon sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Dies ist aber bei Atomen und anderen Teilchen nie der Fall, daher ist es sinnvoll den Zusammenhang von Impuls und Wellenlänge zu verallgemeinern. Diese Wellenlänge bezeichnet man nach de Broglie auch als ''de Broglie-Wellenlänge'':
 {|class="wikitable"
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 :<math>\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m\,v}</math>
 |}

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 Welche Frequenz oder Wellenlänge sollte dann so einer Welle zugeordnet werden? Bisher kennen wir nur die Energie, Masse und den Impuls eines Photons:
 :<math>E=m\,c^2=h\,f \qquad p=\frac{h}{\lambda}</math>
-Bei der Berechnung der Energie und der Masse ist es wesentlich, dass das Photon sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Dies ist aber bei Atomen und anderen Teilchen nie der Fall, daher ist es sinnvoll den Zusammenhang von Impuls und Wellenlänge zu verallgemeinern. Diese Wellenlänge bezeichnet man nach de Broglie auch als ''de Broglie-Wellenlänge'':
+Dieser grundlegende Zusammenhang kann verallgemeinert werden. Um einem Materieteilchen die Welleneigenschaft der Frequenz oder der Wellenlänge zuzuordnen, lößt man einfach auf:
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 :<math>\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m\,v}</math>
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 <br/>Im Pulver sind die kleinen Kristalle in allen möglichen Lagen vorhanden, weswegen es auch für alle Maxima Kristalle gibt, welche die Interferenzbedingung erfüllen. Dadurch kann man alle Maxima gleichzeitig auf dem Schirm sehen.
 <br/>In der zweidimensionalen Darstellung ist nur eine Schnittebene längs des einfallenden Elektronenstrahls zu sehen. Das dreidimensionale Ergebnis erhält man durch eine Rotation um den einfallenden Elektronenstrahl.
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 Nur bei bestimmten Winkeln ist der Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge. Für diese Fälle liegt konstruktive Interferenz vor.
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 [[Datei:Kristallgitterstruktur von Graphit.png|thumb|Die Kohlenstoffatome von Graphit sind in parallen Ebenen mit einem Wabenmuster angeordnet. Der Abstand der Ebenen beträgt <math>0{,}335\,\rm nm</math><ref>Siehe Wikipedia: [https://en.wikipedia.org/wiki/Graphite#Structure Graphite, Structure]</ref>.]]
 [[Datei:Bragg-Reflektion Kristallgitter Graphit d1a.png|thumb|Graphit hat außer den "natürlichen" Netzebenen noch weitere innerhalb der Wabenstruktur. Der Abstand der C-Atome in einer Wabe beträgt <math>0{,}142\,\rm nm</math><ref>Siehe Wikipedia: [https://en.wikipedia.org/wiki/Graphite#Structure Graphite, Structure]</ref>.]]
-[[Datei:Bragg-Reflektion Kristallgitter Graphit d2a.png|thumb|<br>In dieser [[Animation: Netzebenenabstände von Graphit|zweidimensionalen Animation]] kann man selbst verschiedene Netzebenen suchen.<br>Eine [http://tube.geogebra.org/material/simple/id/138548 dreidimensionale Animation] gibt es auch.]]
+[[Datei:Bragg-Reflektion Kristallgitter Graphit d2a.png|thumb|<br>In dieser [[Animation: Netzebenenabstände von Graphit|zweidimensionalen Animation]] kann man selbst verschiedene Netzebenen suchen.<br>Eine [https://www.geogebra.org/m/Gv6JjETM dreidimensionale Animation] gibt es auch.]]
 Man nimmt an, das die Elektronen Welleneigenschaften haben, also verwenden wir das [[Das Huygenssche Prinzip|Huygensche Prinzip]] und die [[Interferenz; Überlagerung von Wellen|Interferenz von Wellen]] zur Erklärung.

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-Die Broglie-Wellenlänge eines Teilchens mit dem Impuls p:
+Die de Broglie-Wellenlänge eines Teilchens mit dem Impuls p:
 :<math>\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m\,v}</math>
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 Jedes Atom im Kristall kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle gesehen werden.
-#Die Elementarwellen ''einer'' Ebene überlagern sich dabei zu einer reflektierten Welle, nach dem Reflektionsgesetz und einer unverändert weiterlaufenden Welle<ref>Vgl. [[Reflektion und Brechung einer Welle]]</ref>. Eine Atomebene verhält sich also wie ein Spiegel.
+#Die Elementarwellen ''einer'' Ebene überlagern sich dabei zu einer reflektierten Welle, welche sich nach dem Reflektionsgesetz ausbreitet, und einer unverändert weiterlaufenden Welle<ref>Vgl. [[Reflektion und Brechung einer Welle]]</ref>. Eine Atomebene verhält sich also wie ein Spiegel.
 #Durch die Reflektion an unterschiedlichen Atomebenen entsteht ein Gangunterschied, ähnlich wie bei der [[Interferenz an einer Seifenhaut (dünne Schicht)|Interferenz an dünnen Schichten]]. Beträgt dieser Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge, so liegt konstruktive Interferenz (ein Maximum) vor. <br> Der Gangunterschied hängt vom Ebenenabstand und dem Winkel zwischen Ausbreitungrichtung und Atomebene ab.

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 Für eine genauere Betrachtung muss man die Interferenzbedingungen untersuchen.
-Wir nehmen an, dass die Atome im Graphit regelmäßig angeordnet sind. Die Atome bilden Ebenen, die wiederum einen festen Abstand voneinander haben.
+Wir nehmen an, dass die Atome im Graphit regelmäßig angeordnet sind. Die Atome bilden Ebenen, die wiederum einen festen Abstand voneinander haben. Führt diese Annahme zu einer erfolgreichen Erklärung, so haben wir guten Grund anzunehmen, dass die Atome des Graphits tatsächlich in wabenförmigen Netzstrukturen angeordnet sind und wir können sogar die Atomabstände berechnen!
 Jedes Atom im Kristall kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle gesehen werden.
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 Dargestellt ist einer der vielen kleinen Kristalle des Pulvers. Der Kristall kann in seiner Lage durch die Angabe des Winkels φ verändert werden.
-Die Wellenlänge des Elektronenstrahls und der Abstand d der Atomebenen und  kann am Schieberegler verändert werden.
+Die Wellenlänge des Elektronenstrahls und der Abstand d der Atomebenen können an den Schiebereglern verändert werden.
-Für manche Winkel ist die Braggsche Interferenzbedingung für das erste, zweite, usw. Maxima erfüllt. Im Pulver sind die kleinen Kristalle in allen möglichen Lagen vorhanden, weswegen es auch für alle Winkel Kristalle gibt, welche die Interferenzbedingung erfüllen.
+Für manche Winkel ist die Braggsche Interferenzbedingung für das erste, zweite, usw. Maxima erfüllt.
+Trifft der Elektronenstrahl auf den fluoreszierenden Schirm, so sieht man dort einen Fleck.
-Trifft der Elektronenstrahl auf den fluoreszierenden Schirm, so sieht man dort einen Fleck. Dadurch kann man die Maxima als helle Kreise auf dem Schirm sehen.
+<br/>Im Pulver sind die kleinen Kristalle in allen möglichen Lagen vorhanden, weswegen es auch für alle Maxima Kristalle gibt, welche die Interferenzbedingung erfüllen. Dadurch kann man alle Maxima gleichzeitig auf dem Schirm sehen.
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 <br style="clear: both" />
 [[Datei:Elektronenbeugung_Debey-Scherrer_Grafik.png|thumb|400px|Interferenzbedingungen]]
-Gemessen wird der Abstand L zwischen Schirm und Graphit, sowie die Entfernung R des Maximas von der Achse. Der Winkel zwischen den Elektronenstrahlen hinter dem Graphit beträgt <math>2\, \varphi</math>. Das kann man daran erkennen, daß die Atomebenen des Kristalls gerade parallel zur Winkelhalbierenden der Elektronenstrahlen liegen. Nun gilt:
+Gemessen wird der Abstand L zwischen Schirm und Graphit, sowie die Entfernung R des Maximas von der Achse. Der Winkel zwischen den Elektronenstrahlen hinter dem Graphit beträgt <math>2\, \varphi</math>. Das kann man daran erkennen, dass die Atomebenen des Kristalls gerade parallel zur Winkelhalbierenden der Elektronenstrahlen liegen. Nun gilt:
 :<math>\tan(2\, \varphi)=\frac{R}{L}</math>
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 Einfach nach der Geschwindigkeit auflösen:
 :<math>v=\sqrt{\frac{2\, e\, U}{m}}</math>
-Bei 3kV sind das <math>32500000\, \frac{\rm m}{\rm s}</math>, also ca. 10% der Lichtgeschwindigkeit.
+Bei 3kV sind das <math>32500000\, \frac{\rm m}{\rm s}</math>, also ca. 10% der Lichtgeschwindigkeit<ref>Bei dieser Geschwindigkeit ist der relativistische Effekt noch zu vernachlässigen, bei größeren Beschleunigungsspannungen sollte man die relativistische Massenzunahme berücksichtigen.</ref>.
 Der Impuls ergibt sich dann zu:

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 Man nimmt an, das die Elektronen Welleneigenschaften haben, also verwenden wir das [[Das Huygenssche Prinzip|Huygensche Prinzip]] und die [[Interferenz; Überlagerung von Wellen|Interferenz von Wellen]] zur Erklärung.
-Ordnet man den Elektronen ihre de Broglie-Wellenlänge zu, so ist es logisch, dass bei größeren Spannungen das kleinere Interferenzmuster zu sehen ist. Denn die größerere Beschleunigung führt zu einem größerem Impuls und damit zu einer kleineren Wellenlänge. Auch bei den Interferenzexperimenten mit Licht ist das Muster des roten Lichtes immer größer als das des blauen Lichtes.
+Ordnet man den Elektronen ihre de Broglie-Wellenlänge zu, so ist es logisch, dass bei größeren Spannungen das kleinere Interferenzmuster zu sehen ist. Denn die größerere Beschleunigung führt zu einem größerem Impuls und damit zu einer kleineren Wellenlänge. Auch bei den Interferenzexperimenten mit Licht ist das Muster des blauen Lichtes immer kleiner als das des roten Lichtes.
 Für eine genauere Betrachtung muss man die Interferenzbedingungen untersuchen.

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 ;Animation
-Diese Bilder zeigen die Messergebnisse des [http://rcl-munich.informatik.unibw-muenchen.de/ RCLs] der Universität der Bundeswehr in München. Sie unterscheiden sich etwas von den oben beschriebenen Erbebnissen.
+Diese Bilder zeigen die Messergebnisse des [http://rcl-munich.informatik.unibw-muenchen.de/ RCLs] der Universität der Bundeswehr in München. Sie unterscheiden sich etwas von den oben beschriebenen Ergebnissen.
 Mit dem Schieberegler kann man die Beschleunigungsspannung in kiloVolt einstellen.