Messunsicherheit und Fehlerrechnung - Versionsgeschichte

Patrick.Nordmann: /* Wie lang ist das Zimmer? */

2022-01-18T07:21:34Z

‎Wie lang ist das Zimmer?

Patrick.Nordmann: /* Links */

2021-11-23T13:28:30Z

‎Links

Patrick.Nordmann: /* Links */

2020-05-22T09:43:04Z

‎Links

Patrick.Nordmann: /* Wie lang ist das Zimmer? */

2018-04-03T12:35:02Z

‎Wie lang ist das Zimmer?

Patrick.Nordmann: /* Systematische und zufällige Messfehler */

2018-04-03T11:36:03Z

‎Systematische und zufällige Messfehler

Patrick.Nordmann: /* Systematische und zufällige Messfehler */

2018-04-03T11:26:12Z

‎Systematische und zufällige Messfehler

Patrick.Nordmann: /* Angabe von Messfehlern */

2017-07-27T11:29:40Z

‎Angabe von Messfehlern

Patrick.Nordmann: /* Fehlerfortpflanzung */

2017-07-27T11:24:29Z

‎Fehlerfortpflanzung

Patrick.Nordmann: /* Summen und Differenzen */

2017-07-27T10:53:51Z

‎Summen und Differenzen

Patrick.Nordmann: /* Statistische Beurteilung von zufälligen Fehlern */

2017-07-27T10:52:55Z

‎Statistische Beurteilung von zufälligen Fehlern

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 Zunächst schätzen wir die Länge.
-Zur Messung verwenden wir Zollstöcke. Mit einem Zollstock kann man die Länge bis auf einen halben Zentinmeter genau ablesen.
+Zur Messung verwenden wir Zollstöcke. Mit einem Zollstock kann man die Länge bis auf einen halben Zentimeter genau ablesen.
 Hier die Urliste der Daten:

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 ==Links==
 *[http://www.jgiesen.de/Divers/Fehler/Fehlerrechnung.pdf Einfache Übersicht zu Fehlerrechnung und Ausgleichsgeraden.] (Von Jürgen Giesen)
 *[http://www.idn.uni-bremen.de/cvpmm/content/fehlerrechnung/show.php?modul=2&ident=2021 Selbstlerneinheit Fehlerrechnung der Uni Bremen] (Von Dr. Stefan Käding und Dr. Elgar Fokkens)
 *[http://de.wikipedia.org/wiki/Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe Wikipedia: Physikalische Größen]

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 ==Links==
 *[http://www.jgiesen.de/Divers/Fehler/Fehlerrechnung.pdf Einfache Übersicht zu Fehlerrechnung und Ausgleichsgeraden.] (Von Jürgen Giesen)
 *[http://www.idn.uni-bremen.de/cvpmm/content/fehlerrechnung/show.php?modul=2&ident=2021 Selbstlerneinheit Fehlerrechnung der Uni Bremen] (Von Dr. Stefan Käding und Dr. Elgar Fokkens)
 *[http://de.wikipedia.org/wiki/Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe Wikipedia: Physikalische Größen]

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 Zunächst schätzen wir die Länge.
-Zur Messung verwenden wir Zollstöcke. Jedes Messergebnis wird in gerundeten Zentimetern angegeben, genauer geht es mit einem Zollstock nicht.
+Zur Messung verwenden wir Zollstöcke. Mit einem Zollstock kann man die Länge bis auf einen halben Zentinmeter genau ablesen.
-−
-Hier die Rohdaten:
-−
-−
-Manche Längen kommen häufiger vor als andere, hier die sortierte Liste mit der Anzahl der Häufigkeiten:
 Und das entsprechende Häufigkeitsdiagramm:
+:[[Datei:Histogramm Zimmerlänge.png|220px|none]]
 Auffällig ist, dass Werte abseits des Mittelwertes weniger häufig auftreten. Bei einer Messung treten also oft Werte um den Mittelwert auf.
 Es ist deshalb naheliegend, den Mittelwert der Messwerte als vermutliche Länge des Zimmers zu nehmen:
+:<math>\bar l = 11{,}03 \,\rm m</math>
 Aber wie genau ist nun unsere Messung? Auf den Millimeter? Oder doch nur +/- einen Zentimeter?

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 ==Systematische und zufällige Messfehler==
-*Jede Messung ist nur eine Annäherung an den wahren Wert einer Größe.
+*Jede Messung ermittelt nur einen ungenauen Wert einer Größe.
-*Dabei entstandene Messfehler teilt man in systematische und zufällige Fehler ein.
+*Dabei enthaltene Messfehler teilt man in systematische und zufällige Fehler ein.
-:Bei einem systematischen Fehler, z.B. durch einen falschen Versuchsaufbau, verschieben sich die gemessenen Werte um einen Betrag. Sie sind schwer abzuschätzen oder zu korrigieren.
+:Systematische Fehler entstehen z.B. durch einen falschen Versuchsaufbau. Sie verschieben die gemessenen Werte um einen festen Betrag. Sie sind schwer abzuschätzen oder zu korrigieren.
-:Bei zufälligen Fehlern geht man davon aus, dass die Messwerte um den korrekten Wert schwanken.  Zufällige Fehler werden durch Schwankungen der Messgröße, der Messgeräte, der Umwelt, durch den Beobachter etc. verursacht. Sie sind unvermeidbar, können aber abgeschätzt und durch Wiederholung verringert werden. Dazu verwendet man die Statistik.
+:Bei zufälligen Fehlern geht man davon aus, dass die Messwerte um den korrekten Wert schwanken. Zufällige Fehler werden durch Schwankungen der Messgröße, der Messgeräte, der Umwelt, durch den Beobachter etc. verursacht. Sie sind unvermeidbar, können aber abgeschätzt und durch Wiederholung verringert werden. Dazu verwendet man die Statistik.
-Graphische Veranschaulichung der Fehlertypen
+:{|
+<gallery widths=162px heights=162px  perrow=2 caption="Graphische Veranschaulichung der Fehlertypen">
 <gallery widths=162px heights=162px  perrow=2 >
   Bild:Fehlerdarstellung Zielscheibe systematisch-klein zufällig-klein.png|Kleiner zufälliger Fehler<br/>Kleiner systematischer Fehler
   Bild:Fehlerdarstellung Zielscheibe systematisch-groß zufällig-klein.png|Kleiner zufälliger Fehler<br/>Großer systematischer Fehler
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   Bild:Fehlerdarstellung Zielscheibe systematisch-groß zufällig-groß.png|Großer zufälliger Fehler<br/>Großer systematischer Fehler
 </gallery>
 ==Angabe von Messfehlern==

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 ==Angabe von Messfehlern==
-*Als absolute Angabe mit Einheiten: <math>l=2m (\pm 0,01m) \qquad  \qquad l = l_0 \pm \Delta l</math>
+*Als absolute Angabe mit Einheiten: <math>l=2\,\rm m \ (\pm 0,01\,\rm m) \qquad  \qquad l = l_0 \pm \Delta l</math>
-*Als relative Angabe ohne Einheiten: <math>l=2m (\pm 0,05)(\pm 5 \%) \qquad (\pm \frac{\Delta l}{l})</math>
+*Als relative Angabe ohne Einheiten: <math>l=2\,\rm m \ (\pm 0,05)\ (\pm 5 \%) \qquad (\pm \frac{\Delta l}{l})</math>
-*Mit Hilfe von geltenden Ziffern, wobei nur die letzte Ziffer fehlerbehaftet ist: <math>l=2,000m</math>
+*Mit Hilfe von geltenden Ziffern, wobei nur die letzte Ziffer fehlerbehaftet ist: <math>l=2,000\,\rm m</math>
 ==Statistische Beurteilung von zufälligen Fehlern==

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 ===Summen und Differenzen===
 *Die absoluten Fehler addieren sich.
-'''Beispiel:'''
+;Beispiel:
-Es wird die Dicke eines Blatt Papiers zu <math>0,2\,\rm mm (\pm 0,01\,\rm mm)</math> bestimmt. Für die Dicke von 50 Blättern ergibt sich: <math>10\,\rm mm (\pm 0,5\,\rm  mm)</math>
+Es wird die Dicke eines Blatt Papiers zu <math>0{,}2\,\rm mm \ (\pm 0{,}01\,\rm mm)</math> bestimmt. Für die Dicke von 50 Blättern ergibt sich: <math>10\,\rm mm \ (\pm 0{,}5\,\rm  mm)</math>
 ===Produkte und Quotienten===
@@ Zeile 104: / Zeile 104: @@
 Zur Bestimmung der Geschwindigkeit wurde die Strecke und die Zeit gemessen:
-:<math>s = 5 m (\pm 0,01 m) (\pm 0,002) (\pm 0,2\%)</math>
+:<math>s = 5\,\rm m \ (\pm 0{,}01 \,\rm m) \ (\pm 0{,}2\%)</math>
-:<math>t = 2 s (\pm 0,1 s) (\pm 0,05) (\pm 5\%)</math>
+:<math>t = 2 \,\rm s \ (\pm 0{,}1 \,\rm s) \ (\pm 5\%)</math>
-:<math>v=\frac{s}{t}= 2,5 m/s (\pm 0,052)(\pm 5,2\%)</math>
+:<math>v=\frac{s}{t}= 2{,}5 \,\rm m/s \ (\pm 5{,}2\%)</math>
 Aus dem relativen Fehler ist es nun auch möglich wieder den absoluten Fehler zu berechnen.
@@ Zeile 114: / Zeile 114: @@
 ===Potenzen und Wurzeln===
 *Die relativen Fehler werden mit der Potenz gewichtet und addiert.
-'''Beispiel:'''
+;Beispiel:
 Bestimmung der Periodendauer eines Pendels.
-:<math>T = 2\Pi \frac{\sqrt{l}}{\sqrt{g}} = 2\Pi \frac{l^{1/2}}{g^{1/2}}</math>
+:<math>T = 2\pi \, \frac{\sqrt{l}}{\sqrt{g}} = 2\pi \, \frac{l^{1/2}}{g^{1/2}}</math>
-:<math>l = 0,6m (\pm 0,1\%)</math>
+:<math>l = 0{,}6\,\rm m \ (\pm 0{,}1\%)</math>
-:<math>g = 9,81 m/s^2 (\pm 0,01\%)</math>
+:<math>g = 9{,}81 \,\rm m/s^2 \ (\pm 0{,}01\%)</math>
 Die relativen Messfehler werden nun mit 1/2 gewichtet (multipliziert) und addiert:
-:<math>T = 1,5539 s (\pm 0,055\%)</math>
+:<math>T = 1{,}5539 s \ (\pm 0,055\%)</math>
 In diesem Fall ist also der Gesamtfehler kleiner als der größte Einzelfehler!

@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 *Häufig kann man annehmen, dass der Messwert normalverteilt ist, die Häufigkeiten also der Gaußschen Glockenkurve entsprechen. (Das liegt daran, dass eine zufällige Größe, die von sehr vielen voneinander unabhängigen Einflüssen abhängt, normalverteilt ist. (Sogenannter "zentraler Grenzwertsatz"))
-*Der Verlauf der Kurve und damit die Messwerte werden durch die Angabe des Mittelwerts (<math>\bar x</math>) und der Standardabweichung (<math>s</math> oder <math>\sigma</math>) vollständig festgelegt. Der Mittelwert gibt den Ort des Maximums an, die Standardabweichung gibt die Stellen der Wendepunkte an.
+*Der Verlauf der Kurve und damit die Messwerte werden durch die Angabe des Mittelwerts (<math>\bar x</math>) und der Standardabweichung (<math>s</math> oder <math>\sigma</math>) vollständig festgelegt. Der Mittelwert gibt den Ort des Maximums an, die Standardabweichung gibt den Abstand der Wendestellen von der Extremstelle an.
 :<math>\bar x = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} \qquad \sigma = s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N (\bar x - x_i)^2}{N-1}}</math>
 [[Bild:Gausskurve_mit_Vertrauensgrenzen.jpg|thumb|Gausskurve mit Vertrauengrenzen]]
-*Die '''Standardabweichung der Messwerte''' gibt an, wie genau die Messungen waren. Kleine Abweichung = Genaue Messung. Man kann damit auch die Wahrscheinlichkeit angeben, dass ein Messwert innerhalb eines Bereichs liegt.
+*Die Standardabweichung der Messwerte gibt an, wie genau die Messungen waren. Kleine Abweichung = Genaue Messung. Man kann damit auch die Wahrscheinlichkeit angeben, dass ein Messwert innerhalb eines Bereichs liegt.
   Maximale absolute Abweichung | Vertrauensniveau
               s                |    68% (ca. 2/3)