Praktikum: Untersuchung von Schwingungen mit der Differentialgleichung - Versionsgeschichte

Patrick.Nordmann am 18. Oktober 2016 um 13:33 Uhr

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Patrick.Nordmann am 13. Oktober 2016 um 08:48 Uhr

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Patrick.Nordmann am 9. Januar 2012 um 12:52 Uhr

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Patrick.Nordmann am 9. Januar 2012 um 12:44 Uhr

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Patrick.Nordmann am 9. Januar 2012 um 09:27 Uhr

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hat „Praktikum: Bestimmung von Differentialgleichungen“ nach „Praktikum: Untersuchung von Schwingungen mit der Differentialgleichung“ verschoben: Besserer Titel

Patrick.Nordmann: Die Seite wurde neu angelegt: „NOTOC NOEDITSECTION * Ziel der Untersuchung ist es, das -Zeit-Orts-Gesetz $y(t)$ und damit auch die Frequenz der Schwingung aus der äußere…“

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Die Seite wurde neu angelegt: „__NOTOC__ __NOEDITSECTION__ * Ziel der Untersuchung ist es, das -Zeit-Orts-Gesetz <math> y(t)</math> und damit auch die Frequenz der Schwingung aus der äußere…“

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__NOEDITSECTION__

* Ziel der Untersuchung ist es, das -Zeit-Orts-Gesetz <math> y(t)</math> und damit auch die Frequenz der Schwingung aus der äußeren Situation, wie z.B. die Masse eines Körpers herzuleiten.

* Überlegen Sie sich zuerst, wovon die Frequenz der Schwingung abhängen könnte. Schreiben Sie auf, welche Veränderung Sie erwarten und warum: Z.B. "Bei größerer Masse wird die Frequenz kleiner, wegen der größeren Trägheit."

* Danach ist es sinnvoll die Differentialgleichung aufzustellen.
:Zunächst muss man ein Koordinatensystem wählen, also eine Methode angeben mit der man die Position des Gegenstands beschreiben kann. Danach muss man den Zusammenhang zwischen Auslenkung und Rückstellkraft <math>F(y)</math> bestimmen. Die DGL ergbt sich dann immer als <math>m\, \ddot y = F(y)</math>.
:Vor allem beim Fadenpendel hilft auch ein Blick in ein Buch oder ins Internet weiter.

* Danach sollen sie Lösungen <math>y(t)</math> der DGL und eine Formel für die Frequenz <math>f</math> oder die Kreisfrequenz <math>\omega</math> angeben.
:Im Fall einer harmonischen Schwingung kann man die Lösungen wie im [[Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit einer Differentialgleichung|Fall des schwingenden Wagens]] finden. Die DGL hat dann die Form <math>\ddot y = - k \, y</math> mit einer positiven Konstante <math>k</math>.
:Bei einer nichtharmonischen Schwingung mit nichtlinearem Kraftverlauf hat man leider verloren, denn solche DGL sind schwer oder garnicht lösbar. Es gibt aber einen Ausweg: Man nimmt den linearen Kraftverlauf, der die Situation am besten annähert:
:Zeichnen Sie den Graphen von <math>F(y)</math>. Zeichnen Sie die Tangente in <math>y=0</math> ein und bestimmen Sie die Tangentengleichung. Die Gleichung der Tangente ist eine gute Näherung des nichtlinearen Kraftgesetzes für kleine Auslenkungen.
:Mit dieser harmonischen Näherung können Sie weiterrechnen :)

* Welche Schlussfolgerung können Sie aus der allgemeinen Lösung ziehen? Genauer: Wovon hängt die Frequenz der Schwingung ab? (Z.B. Proportional zur Masse und zur Amplitude, etc.)

* Ausserdem können Sie nun ihre Rechnungen durch eine Messung überprüfen. Messen Sie die zur Berechnung der Frequenz nötigen Werte, führen sie eine [[Messunsicherheit_und_Fehlerrechnung|Fehlerrechnung]] durch und vergleichen Sie die gemessene mit der berechneten Frequenz.
:(Um eine Fehlerrechnung durchführen zu können, müssen Sie alle Messwerte mindestens 10 mal messen. um eine statistische Streung zu haben.)

===Schwingendes Wasser im U-Rohr===
{|
|[[Bild:Versuchsaufbau_Schwingendes_Wasser_im_U-Rohr.jpg|thumb|150px|none|Versuchsaufbau: Schwingendes Wasser im U-Rohr]]
|[[Bild:Wassersäule_U-Rohr_schematisch.jpg|thumb|none|Der schematische Versuchsaufbau]]
|}

===Das Fadenpendel===
[[Bild:Fadenpendel_mit_Kraftvektoren.jpg|thumb|none|Fadenpendel mit wirkenden Kräften]]

===Federpendel im Gravitationsfeld===
{|
|[[Bild:Versuchsaufbau_Federpendel.jpg|thumb|none|150px|Versuchsaufbau Federpendel]]
|[[Bild:Schwingungen_y_F_Zusammenhang_verschobener_Nullpunkt.png|thumb|300px|none]]
|}

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 |[[Bild:Wassersäule_U-Rohr_schematisch.jpg|thumb|none|Der schematische Versuchsaufbau]]
 |-
-|[[Bild:Fadenpendel_mit_Kraftvektoren.jpg|framed|none|Fadenpendel mit wirkenden Kräften]]
+|[[Bild:Fadenpendel_mit_Kraftvektoren.jpg|thumb|250px|none|Fadenpendel mit wirkenden Kräften]]
 |-
 |[[Bild:Versuchsaufbau_Federpendel.jpg|thumb|none|150px|Versuchsaufbau Federpendel im Gravitationsfeld]]
 |[[Bild:Schwingungen_y_F_Zusammenhang_verschobener_Nullpunkt.png|framed|none|Der Kraftverlauf bei verschiedenen Koordinatensystemen]]
 |}

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−	~~[[Bild:Versuchsaufbau_Schwingendes_Wasser_im_U-Rohr.jpg\|thumb\|150px\|left\|Versuchsaufbau: Schwingendes Wasser im U-Rohr]]~~
−	~~[[Bild:Wassersäule_U-Rohr_schematisch.jpg\|150px\|right\|Der schematische Versuchsaufbau]]~~
−	~~[[Bild:Versuchsaufbau_Federpendel.jpg\|thumb\|150px\|Versuchsaufbau Federpendel im Gravitationsfeld]]~~
−	~~[[Bild:Fadenpendel_mit_Kraftvektoren.jpg\|framed\|left\|Fadenpendel mit wirkenden Kräften]]~~
−	~~[[Bild:Schwingungen_y_F_Zusammenhang_verschobener_Nullpunkt.png\|framed\|left\|Der Kraftverlauf bei verschiedenen Koordinatensystemen]]~~

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-|[[Bild:Versuchsaufbau_Schwingendes_Wasser_im_U-Rohr.jpg|thumb|150px|none|Versuchsaufbau: Schwingendes Wasser im U-Rohr]]
+|[[Bild:Versuchsaufbau_Schwingendes_Wasser_im_U-Rohr.jpg|thumb|250px|none|Versuchsaufbau: Schwingendes Wasser im U-Rohr]]
 |[[Bild:Wassersäule_U-Rohr_schematisch.jpg|thumb|none|Der schematische Versuchsaufbau]]
 |[[Bild:Fadenpendel_mit_Kraftvektoren.jpg|framed|none|Fadenpendel mit wirkenden Kräften]]
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 |[[Bild:Schwingungen_y_F_Zusammenhang_verschobener_Nullpunkt.png|framed|none|Der Kraftverlauf bei verschiedenen Koordinatensystemen]]
 |}

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 * Welche Schlussfolgerung können Sie aus der allgemeinen Lösung ziehen? Genauer: Wovon hängt die Frequenz der Schwingung ab? (Z.B. proportional zur Masse und zur Amplitude, etc.)
-* Ausserdem können Sie nun ihre Rechnungen durch eine Messung überprüfen. Messen Sie die zur Berechnung der Frequenz nötigen Werte, führen sie eine [[Messunsicherheit_und_Fehlerrechnung|Fehlerrechnung]] durch und vergleichen Sie die gemessene mit der berechneten Frequenz.
+* Außerdem können Sie nun ihre Rechnungen durch eine Messung überprüfen. Messen Sie die zur Berechnung der Frequenz nötigen Werte, führen sie eine [[Messunsicherheit_und_Fehlerrechnung|Fehlerrechnung]] durch und vergleichen Sie die gemessene mit der berechneten Frequenz.
 :(Um eine Fehlerrechnung durchführen zu können, müssen Sie alle Messwerte mindestens 10 mal messen. um eine statistische Streung zu haben.)

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 * Überlegen Sie sich zuerst, wovon die Frequenz der Schwingung abhängen könnte. Schreiben Sie auf, welche Veränderung Sie erwarten und warum: Z.B. "Bei größerer Masse wird die Frequenz kleiner, wegen der größeren Trägheit."
-:Überlegen Sie sich ausserdem, ob die Schwingung harmonisch ist, oder nicht.
+:Überlegen Sie sich außerdem, ob die Schwingung harmonisch ist, oder nicht.
 * Danach ist es sinnvoll die Differentialgleichung aufzustellen.
-:Zunächst muss man ein Koordinatensystem wählen, also eine Methode angeben mit der man die Position des Gegenstands beschreiben kann. Danach muss man den Zusammenhang zwischen Auslenkung und Rückstellkraft <math>F(y)</math> bestimmen. Die DGL ergbt sich dann immer als <math>m\, \ddot y = F(y)</math>.
+:Zunächst muss man ein Koordinatensystem wählen, also eine Methode angeben mit der man die Position des Gegenstands beschreiben kann. Danach muss man den Zusammenhang zwischen Auslenkung und Rückstellkraft <math>F(y)</math> bestimmen. Die DGL ergibt sich dann immer als <math>m\, \ddot y = F(y)</math>.
 :Vor allem beim Fadenpendel hilft auch ein Blick in ein Buch oder ins Internet weiter.
 :Jetzt können Sie auch beurteilen, ob die Schwingung wirklich harmonisch ist!

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 {|
 |[[Bild:Versuchsaufbau_Schwingendes_Wasser_im_U-Rohr.jpg|thumb|150px|none|Versuchsaufbau: Schwingendes Wasser im U-Rohr]]
 |[[Bild:Wassersäule_U-Rohr_schematisch.jpg|thumb|none|Der schematische Versuchsaufbau]]
-|}
+|[[Bild:Fadenpendel_mit_Kraftvektoren.jpg|framed|none|Fadenpendel mit wirkenden Kräften]]
+|-
-===Das Fadenpendel===
+|[[Bild:Versuchsaufbau_Federpendel.jpg|thumb|none|150px|Versuchsaufbau Federpendel im Gravitationsfeld]]
-[[Bild:Fadenpendel_mit_Kraftvektoren.jpg|thumb|none|Fadenpendel mit wirkenden Kräften]]
+|[[Bild:Schwingungen_y_F_Zusammenhang_verschobener_Nullpunkt.png|framed|none|Der Kraftverlauf bei verschiedenen Koordinatensystemen]]
-−
-===Federpendel im Gravitationsfeld===
-{|
 |[[Bild:Versuchsaufbau_Federpendel.jpg|thumb|none|150px|Versuchsaufbau Federpendel]]
-|[[Bild:Schwingungen_y_F_Zusammenhang_verschobener_Nullpunkt.png|thumb|300px|none]]
 |}

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