Untersuchung von Schwingungen mit der Differentialgleichung - Versionsgeschichte

Patrick.Nordmann: /* Differentialgleichung */

2021-10-21T16:15:25Z

‎Differentialgleichung

2021-10-21T16:08:02Z

‎Differentialgleichung

2021-10-21T16:07:12Z

‎Differentialgleichung

2021-10-21T15:48:39Z

‎Differentialgleichung

2021-10-21T15:42:12Z

‎Das Fadenpendel

2017-03-23T17:00:53Z

‎Koordinatensystem

2016-10-18T10:56:17Z

‎DGL

2016-10-17T10:00:26Z

‎Koordinatensystem

2016-10-16T07:43:07Z

‎Kraftverlauf

2016-10-16T07:42:20Z

‎Kraftverlauf

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 \end{alignat}
 </math>
-Das Ergebnis hängt nicht mehr von der Masse ab! Das bedeutet, dass auch die Bewegung des Fadenpendels von der Masse unabhängig ist, was die [[Praktikum: Untersuchung eines Fadenpendels|Messungen am Fadenpendel]] bestätigt.
+Das Ergebnis hängt nicht mehr von der Masse ab! Das bedeutet, dass auch die Bewegung des Fadenpendels von der Masse unabhängig ist, was die [[Praktikum: Untersuchung eines Fadenpendels|Messungen am Fadenpendel]] bestätigt. Die Periodendauer, bzw. die Frequenz ist also unabhängig von der Masse des schwingenden Gegenstandes, weil bei größerer Masse die Rückstellkraft und die Trägheit in gleichem Maße zunehmen.
 Eine exakte Lösung der DGL ist mit elementaren Funktionen nicht möglich. Man kann aber nährungsweise durch geschicktes Probieren mit dem Computer  eine "numerische Lösung" finden.
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 und die bekannten Lösungen
 :<math>y(t) = \hat y \, \sin(\omega \, t)\quad \text{mit} \quad \omega ^2 = \frac{D}{m}=\frac{g}{l}</math>
 ==Federpendel im Gravitationsfeld==

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 (Vgl. [http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel Wikipedia] oder die [http://mikomma.de/mech/kpendel/pendel_exakt.html Berechnungen von Michael Komma])
-Für die lineare Näherung ergibt sich die DGL einer harmonischen Schwingung:
+Für die lineare Näherung bei kleinen Auslenkungen ergibt sich die DGL einer harmonischen Schwingung:
 :<math>\ddot y = - \frac{D}{m}\,y = -  \frac{m\, g}{l\, m}\, y = -  \frac{g}{l}\, y</math>
 und die bekannten Lösungen

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 ===Differentialgleichung===
-Die DGL ist nicht elementar lösbar. Man kann aber nährungsweise durch geschicktes Probieren mit dem Computer  eine "numerische Lösung" finden.
+Für die DGL setzt man die oben berechnete Rückstellkraft gleich mit der beschleunigenden Kraft:
 (Vgl. [http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel Wikipedia] oder die [http://mikomma.de/mech/kpendel/pendel_exakt.html Berechnungen von Michael Komma])

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 ===Differentialgleichung===
-Die DGL ist nicht exakt lösbar. Man kann nur nährungsweise durch geschicktes Probieren mit dem Computer  eine "numerische Lösung" finden.
+Die DGL ist nicht elementar lösbar. Man kann aber nährungsweise durch geschicktes Probieren mit dem Computer  eine "numerische Lösung" finden.
 (Vgl. [http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel Wikipedia] oder die [http://mikomma.de/mech/kpendel/pendel_exakt.html Berechnungen von Michael Komma])

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 Am geeignetsten ist ein gebogenes System, das genau dem Weg des Pendelkörpers folgt. Den Ort gibt man daher mit der Länge eines Kreisbogens an. Die Ruhelage ist der Ursprung und Ausschläge nach rechts sind positiv.
-Der Ort auf dem Kreis hängt direkt mit dem Winkel ([[Animation: Sinus und Cosinus im Einheitskreis|im Bogenmaß]]) zusammen:
+Der Ort auf dem Kreis hängt direkt mit dem Winkel ([[Animation: Bogenmaß und ähnliche Kreise|im Bogenmaß]]) zusammen:
 :<math>y = l\, \alpha\quad \Leftrightarrow \quad \alpha= \frac{y}{l}</math>

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 [[Bild:Fadenpendel_mit_Kraftvektoren.jpg|thumb|300px|Fadenpendel mit wirkenden Kräften <br>[[Animation: Rückstellkraft beim Fadenpendel|Animation der Kräftezerlegung]]]]
 ===Koordinatensystem===
-Am geeignetsten ist ein gebogenes System, das genau dem Weg des Pendelkörpers folgt. Den Ort gibt daher mit der Länge eines Kreisbogens an. Die Ruhelage ist der Ursprung und Ausschläge nach rechts sind positiv.
+Am geeignetsten ist ein gebogenes System, das genau dem Weg des Pendelkörpers folgt. Den Ort gibt man daher mit der Länge eines Kreisbogens an. Die Ruhelage ist der Ursprung und Ausschläge nach rechts sind positiv.
 Der Ort auf dem Kreis hängt direkt mit dem Winkel ([[Animation: Sinus und Cosinus im Einheitskreis|im Bogenmaß]]) zusammen:

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 Der Proportionalitätsfaktor <math>2\, A\, \varrho \, g</math> entspricht der Federkonstanten <math>D</math>. Daraus folgt direkt [[Beschreibung einer harmonischen Schwingung mit einer Differentialgleichung|die Differentialgleichung]] und deren Lösung:
-:<math>m\, \ddot y = - D \, y \quad \Leftrightarrow \quad \ddot y = -\frac{D}{m} \qquad \text{mit} \quad D = 2\, A\, \varrho \, g</math>
+:<math>m\, \ddot y = - D \, y \quad \Leftrightarrow \quad \ddot y = -\frac{D}{m} \, y \qquad \text{mit} \quad D = 2\, A\, \varrho \, g</math>
 :<math>y(t)=\hat y \, \sin(\omega \, t) \qquad \text{mit} \quad \omega^2 = \frac{D}{m}</math>

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 Man kann den Kraftverlauf für kleine Ausschläge linear nähern, indem man die Sinuskurve durch die Tangente an der Stelle <math>y=0</math> ersetzt. Das nennt man auch "Kleinwinkelnäherung". Die Steigung beträgt dort:
 :<math>F'(y)= - \, m\, g \, \frac{1}{l}\, \cos(\frac{y}{l})\quad \Rightarrow \quad F'(0) = - \, m\, g \, \frac{1}{l}</math>
-Demnach gilt für den Kraftverlauf ungefähr:
+Demnach gilt für den Kraftverlauf bei kleinen Amplituden ungefähr:
 :<math>F(y)\approx - \,  m \, g \, \frac{y}{l} =  - \, \frac{m \, g}{l} \, y</math>