Aufgaben zum Elektro-Magnetismus (Lösungen): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 14. Mai 2017, 07:55 Uhr

Grundlagen

Verschiedene Wege zur Induktionsspannung

Zählen Sie möglichst viele verschiedene Möglichkeiten auf, wie man experimentell Induktionsspannung an einer Leiterschleife hervorrufen kann und erläutern Sie diese.

• Eine Leiterschleife in ein Magnetfeld eintauchen (herausziehen).

Durch das Eintauchen vergrößert (verringert) sich die "Anzahl der Feldlinien" durch die Schleife, genauer nimmt der magnetische Fluss durch die Schleife zu (ab). Es wird eine Spannung an der Schleife erzeugt (andere Polung).

• Eine Leiterschleife in einem Magnetfeld vergrößern (verkleinern). Auch hier darf die Schleife dabei nicht parallel zu den Feldlinien sein.

Wiederum nimmt der magnetische Fluss durch die Schleife zu (ab).

• Der Nordpol eines Festmagneten wird der Schleife genähert.

Die Feldstärke ist in der Nähe des Pols größer, deshalb nimmt der magnetische Fluß durch die Schleife zu.

• Die Schleife befindet sich im Magnetfeld einer Spule. Der Strom durch die Spule steigt an (nimmt ab).

Durch die Zunahme des Stromes steigt auch die Feldstärke innerhalb der Spule an und somit der magnetische Fluß durch die Schleife. (Bei abnehmender Stromstärke sinkt der Fluß und die Polung der Spannung ist umgekehrt.)

• Die Schleife befindet sich um einen Eisenkern. Der Pol eines Festmagneten wird dem Eisenkern genähert.

Durch die Annäherung des Magneten vergrößert sich die Magnetisierung des Eisens und der magnetische Fluss durch die Schleife nimmt zu.

• Die Schleife und eine Spule befinden sich um einen Eisenkern, sie sind "induktiv gekoppelt". Durch die Spule fließt ein Strom mit zunehmender Stromstärke.

Der Spulenstrom führt zu einer Magnetisierung des Eisenkerns. Da die Stromstärke zunimmt, steigt auch die Magnetisierung mit der Zeit an. Dadurch steigt der magnetische Fluss durch die Schleife an und eine Spannung wird erzeugt.

• Eine Schleife wird in einem Magnetfeld gedreht. Die Drehachse ist nicht parallel zu den Feldlinien.

Je nach Lage der Schleife "gehen viele oder wenige Feldlinien durch die Schleife", der magnetische Fluß ist groß oder klein. Ist die Schleife parallel zu den Feldlinien, so verschwindet der Fluß durch die Schleife. Die Drehung führt daher zu einer Änderung des magnetischen Flußes durch die Schleife und somit zu einer Induktionsspannung.

Magnetischer Fluss

Erläutern Sie anhand von verschiedenen Beispielen, was der magnetische Fluss durch eine Fläche ist.

• Hält man den Pol eines Festmagneten nahe vor eine Leiterschleife, so ist der magnetische Fluß durch die von der Schleife umrandete Fläche groß, weil "viele Magnetfeldlinien" durch die Fläche gehen. Genauer ist das Produkt von mittlerer Feldstärke und Fläche groß.
• Hält man den Festmagneten so an die Schleife, dass die Feldlinien parallel zur Schleife sind, so verlaufen gar keine Feldlinien durch die Fläche und der magnetische Fluß verschwindet. In diesem Fall ist das Produkt von Feldstärke und Fläche Null, weil die effektive Fläche senkrecht zu den Feldlinien Null ist.
• Befindet sich ein magnetisierter Eisenkern in einer Leiterschleife, so gibt es einen magnetischen Fluß durch die Fläche der Schleife, weil "viele Magnetisierungslinien" durch die Fläche gehen. Genauer ist der magnetische Fluß das Produkt aus mittlerer Magnetisierung und Fläche.

Induktionsgesetz

• Wie lautet das Induktionsgesetz in Worten?

Die Induktionsspannung an einer Leiterschleife ist die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses.

• Wie lautet das Induktionsgesetz als Formel in den folgenden Situationen:

Die Formeln gelten für eine Induktionsspule mit n Windungen.

Der magnetische Fluss ist:

[math]\Phi = \mu_0 \, H \, A + \mu_0 \, M \, A = \mu_0 \mu_r \, H \, A [/math]

• Allgemeingültig

[math]U_i = n \, \dot \Phi[/math]

• Ohne Magnetisierung, nur die Feldstärke ändert sich, die Schleifenfläche ist konstant.

[math]U_i = n \, \mu_0 \, \dot H \, A \approx n \, \frac{\Delta H}{\Delta t}\, A[/math]

• Ohne Magnetisierung, nur die Schleifenfläche ändert sich, die Feldstärke ist konstant.

[math]U_i = n \, \mu_0 \, H \, \dot A \approx n \,\mu_0 \, H \, \frac{\Delta A}{\Delta t}[/math]

• Ohne Feld, nur die Magnetisierung ändert sich, die Schleifenfläche ist konstant.

[math]U_i = n \, \mu_0 \, \dot M \, A \approx n \, \frac{\Delta M}{\Delta t} \, A[/math]

Anwendung des Induktionsgesetzes

Primär und Sekundärspule

Innerhalb einer "großen" Primärspule mit 500 Windungen liegt eine "kleine" Sekundärspule mit 2000 Windungen. (Siehe Zeichnung) Durch die Primärspule fließt ein Strom von zwei Ampère.

Die Spule wird dann von der Spannungsquelle getrennt, wodurch die Stromstärke innerhalb von einer tausendstel Sekunde auf Null Ampère zurückgeht.

Danach legt man an die Primärspule eine Dreiecksspannung mit einer Frequenz von 50Hz an, die zu einer maximalen Stromstärke von 2A führt. (Siehe Zeichnung) Zur Messung der Spannung an der Sekundärspule wird ein Oszilloskop angeschlossen.

a) Wie groß ist zu Beginn die magnetische Feldstärke? Berechnen Sie den magnetischen Fluss durch die Primär- und die Sekundärspule.

Die Spule betrachtet man als "schlanke Spule" und berechnet dann nach der Definition der magnetischen Feldstärke:

[math]H=\frac{n_1\, I}{l}= \rm \frac{500\cdot 2\,A}{0{,}6\,m}= \rm 1667\, \frac{A}{m}[/math]

Die Luft ist nicht magnetisierbar, deswegen ist die Flussdichte einfach das Produkt der Feldstärke mit der Feldkonstante:

[math]B=\mu_0\,H = 1{,}2566\cdot 10^{-6} \frac{\rm V\, s}{\rm A\,m} \cdot 1667\, \rm \frac{A}{m}= 0{,}002095\,\rm\frac{Vs}{m^2} \quad (= 2{,}095\cdot 10^{-3}\,\frac{Wb}{m^2}= 2{,}095 \,mT)[/math]

Die Fläche der Spulen berechnen sich mit Hilfe des Radius:

[math]A_1=\pi\, r_1^2 = \pi\cdot (0{,}05\,\rm m)^2 = 0{,}007854\,\rm m^2 \quad (= 78{,}54\,\rm cm^2)[/math]

[math]A_2=\pi\, r_2^2 = \pi\cdot (0{,}025\,\rm m)^2 = 0{,}001969\,\rm m^2 \quad (= 19{,}69\,\rm cm^2)[/math]

Aus der Flussdichte und der Fläche kann man nun den magnetischen Fluss berechnen:

[math]\Phi_1 = B\, A_1 = 2{,}095\cdot 10^{-3}\,\rm\frac{Wb}{m^2} \cdot 0{,}007854\,\rm m^2 = 1{,}645\cdot 10^{-5}\,\rm Wb \quad (V s\,\text{oder}\,T m^2)[/math]

[math]\Phi_2 = B\, A_2 = 2{,}095\cdot 10^{-3}\,\rm\frac{Wb}{m^2} \cdot 0{,}001969\,\rm m^2 = 4{,}114\cdot 10^{-6}\,\rm Wb [/math]

b) Während des Trennens von der Spannungsquelle registriert die Sekundärspule eine Spannung. Begründen Sie dies und berechnen Sie die Spannung.

Durch die fehlende Spannung sinkt die Stromstärke auf Null ab. Währenddessen ändert sich die Feldstärke und damit auch der magnetische Fluss in der Sekundärspule.

Zur Berechnung der Induktionsspannung verwendet man das Induktionsgesetz:

[math]U_i = n_2\,\dot \Phi = n_2\,\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} =2000\cdot \frac{4{,}114\cdot 10^{-6}\,\rm Wb}{10^{-3}\,\rm s} = 8{,}23\,\rm V \qquad \left(\rm\frac{Wb}{s} = \rm\frac{V s}{s} \right)[/math]

c) Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem den zeitlichen Verlauf der mit dem Oszilloskop gemessenen Induktionsspannung ein.

Wieder wird durch die Änderung der Stromstärke der magnetische Fluss geändert.Im Induktionsgesetz kann man sich nun aussuchen, welche Änderungsrate man ausrechnet. Man kann die Änderung der Flussdichte, der Feldstärke oder der Stromstärke verwenden:

[math]U_i = n_2\,\dot \Phi = n_2 \,\dot B\, A = n_2 \,\mu_0 \dot H \, A = n_2 \,\mu_0 \frac{n_1}{l} \dot I \, A \qquad \left(= \mu_0 \, \frac{A\, n_1\, n_2}{l} \cdot \dot I \right)[/math]^[1]

Weil hier die Stromstärke sich konstant ändert, kann man die Änderungsraten als Differenzenquotient berechnen:

[math]U_i = n_2 \,\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = n_2 \,\frac{\Delta B}{\Delta t}\, A = n_2 \,\mu_0\frac{\Delta H}{\Delta t}\, A = n_2 \,\mu_0 \frac{n_1}{l}\frac{\Delta I}{\Delta t}\, A[/math]

Die Stromstärke fällt oder oder steigt innerhalb von [math]0{,}01\,\rm s[/math] um [math]4\,\rm A[/math]:

[math]\frac{\Delta I}{\Delta t} = \rm \frac{4\,A}{0{,}01\,\rm s} = 400\,\rm\frac{A}{s}[/math]

Bei ansteigender Stromstärke beträgt die Induktionsspannung daher:

[math]U_i = n_2\,\mu_0 \frac{n_1}{l}\frac{\Delta I}{\Delta t}\, A = 2000\cdot 1{,}2566\cdot 10^{-6} \frac{\rm V\, s}{\rm A\,m} \cdot \frac{500}{0{,}6\,\rm m}\cdot \frac{4\,\rm A}{0{,}01\,\rm s}\, 0{,}001969\,\rm m^2 = 0{,}165\,\rm V \quad (= 165\,\rm mV)[/math]

Jetzt kann man den Verlauf der Induktionsspannung zeichnen.

Wie ändert sich der Verlauf der Induktionsspannung, wenn die Sekundärspule in einem Winkel von 30° in der Primärspule liegt?

Nun ist die von der Flussdichte durchsetzte effektive Schleifenfläche kleiner, also sinkt auch die Induktionsspannung, die proportional zur Fläche ist.

Die Abnahme läßt sich auch berechnen. Der Einfachheit halber nimmt man zunächst eine Schleife mit rechteckiger Fläche. Durch die 30°-Drehung verkürzt sich die effektive Breite x der Rechteckschleife:

[math]\cos(30^\circ)=\frac{x_{eff}}{x}\quad \Rightarrow \quad x_{eff}= \cos(30^\circ) \, x = \frac{\sqrt 3}{2} \, x \approx \, 0{,}87 \cdot x[/math]

Eine Rechteckschleife wird in einem Magnetfeld um 30° gedreht.

Die Länge y des Rechtecks bleibt unverändert, daher verkleinert sich die Fläche auf 87%:

[math] A_{eff} \approx \, 0{,}87 \cdot A[/math]

Dementsprechend geht auch die Induktionsspannung auf 87% zurück und beträgt nur noch:

[math]U_i=0{,}87 \cdot 165\,\rm mV = 144\,\rm mV[/math]

Die Überlegung stimmt auch noch für eine beliebige krummlinig begrenzte Fläche. In diesem Fall kann man die Fläche durch kleine Rechtecke ausfüllen, was bis auf kleinere Lücken geht. Für die Rechtecke gilt die obere Betrachtung schon. Verwendet man nun immer kleinere Rechtecke, so werden die Lücken und somit der Fehler immer kleiner. Das Vorgehen ist nichts anderes als die Berechnung der Fläche mit einem Integral.

Eine Spule taucht ein

Eine Spule wird innerhalb von 2 Sekunden in ein homogenes Magnetfeld mit einer Feldstärke von 1000A/m senkrecht zu den Feldlinien eingetaucht. Die Spule hat einen quadratischen Querschnitt von 5cm Kantenlänge und 300 Windungen. Sie ist an ein Spannungsmessgerät angeschlossen.

a) Berechnen Sie die gemessene Induktionsspannung.

Die Induktionsspannung berechnet sich aus der Änderung des magnetischen Flusses. Vor dem Eintauchen in das Feld ist die wirksame Fläche der Schleife noch Null und es gibt keinen Fluss durch die Schleife. Während des Eintauchens gehen wir davon aus, dass die Fläche gleichmäßig bis auf die gesamte Schleifenfläche ansteigt.

[math]U_i = n\,\dot \Phi = n\, \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}[/math]

Den magnetischen Fluss berechnet man aus Feldstärke und Fläche:

[math] \begin{array}{rcl} U_i &=& n\,\frac{\mu_0\, H\, \Delta A}{\Delta t} \\ &=& 300\cdot \frac{1{,}2566\cdot 10^{-6} \frac{\rm V\, s}{\rm A\,m} \, 1000 {\rm \frac{A}{m}} \, (0{,}05\,\rm m)^2}{2\,\rm s}\\ &=& 300\cdot \frac{3{,}14\cdot 10^{-6} \,\rm Vs}{2\,\rm s}\\ &=& 300\cdot 1{,}57\cdot 10^{-6} \,\rm V\\ &=& 4{,}71\cdot 10^{-4} \,\rm V\\ &=& 0{,}471\,\rm mV\\ \end{array} [/math]

b) Was kann man messen, wenn die Spule innerhalb des Feldes bewegt wird?

Befindet sich die Spule vollständig im Magnetfeld, so ändert sich der magnetische Fluss durch die Schleife nicht mehr. Deshalb wird auch keine Spannung induziert.

c) Kennzeichnen Sie die Polung der Induktionsspannung mit + und - in der Zeichnung.

Mit Hilfe der UVW-Regel / Drei-Finger-Regel erhält man die Kraftwirkung auf die Ladungen im Kabel der Schleife. Die positive Ladung wird also nach rechts gedrückt und deshalb entsteht auf dieser Seite des Spannungsmessgerätes auch ein positiver Ladungsüberschuß. (Betrachtet man die Elektronen im Kabel, verwendet man die linke Hand. Die Elektronen werden nach links gedrückt und man erhält das gleiche Ergebnis.)

Magnet im freien Fall

Ein Permanentmagnet wird über eine Spule gehalten und losgelassen. An die Spule ist ein Oszilloskop angeschlossen.

• Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der gemessenen Induktionsspannung qualitativ in ein Koordinatensystem und erläutern Sie ihr Ergebnis.

Nach dem Induktionsgesetz wird eine Spannung induziert, wenn sich der magnetische Fluss [math]\Phi = B \cdot A[/math] durch die Spule ändert. Zu Beginn des Falls ist der magnetische Fluss gering. Es verlaufen keine Linien durch die Spule. Fällt der Magnet in die Spule hinein, so steigt der magnetische Fluss an, bis der Magnet sich mitten in der Spule befindet. Es verlaufen dann netto 6 Linien durch die Spule. Die Linien, die zuerst von unten nach oben durch die Fläche gehen und dann wieder durch die Fläche zurück, zählen nicht mit. Beim Herausfallen spielt sich der umgekehrte Vorgang ab, der magnetische Fluss fällt wieder ab. Im freien Fall nimmt die Geschwindigkeit des Magnets immer weiter zu, deshalb ändert sich der Fluss beim Eintritt des Magneten in die Spule langsamer als beim Austritt. Die Geschwindigkeit und damit der Betrag der Induktionsspannung nimmt proportional zur Falldauer zu. Die Beschriftung der Zeitachse ist nur "Pi mal Daumen", ebenso der Betrag der Induktionsspannung, der von der Stärke des Magneten und der Windungszahl abhängt.

Der magnetische Fluss entspricht in der animierten Zeichnung der Anzahl der Flussdichtelinien durch die Spule. Am blauen Punkt läßt sich der Magnet verschieben.

Energieübertragung

Transformator

a) Warum kann man einen Transformator nicht mit Gleichstrom, sondern nur mit Wechselstrom betreiben?

b) Erläutern Sie anhand der Zeichnung die Funktionsweise eines Trafos.

c) Wie könnte der Trafo eines Netzgerätes gebaut sein, der ein Handy mit 5,7V Spannung versorgt?

Ein schwingender Magnet

Der Nordpol eines Stabmagneten schwingt innerhalb einer Spule auf und ab. Sobald man die Spule mit einem Kabel kurzschließt, wird der Magnet gebremst und bleibt schließlich stehen.

a) Erklären Sie diese Beobachtung.

b) Was würde passieren, wenn man den Versuch mit einer supraleitenden Spule durchführen würde?

Ein fallender Magnet

Ein Magnet fällt durch ein Kupferrohr

a) Was kann man beobachten?

b) Wieso kann man für den Versuch kein Plastikrohr und auch kein Eisenrohr verwenden?

c) Wie verändert sich das Versuchsergebnis, wenn man ein Kupferrohr mit dickeren Wänden benutzt?

d) Wie könnte man es erreichen, dass der Magnet schwebt?

Wirbelstrombremse

• Nennen Sie Beispiele, bei denen eine Wirbelstrombremse eingesetzt wird.
• Erläutern Sie das Funktionsprinzip mit einer Zeichnung.

Erklären Sie dabei mit Hilfe des Induktionsgesetzes, wie die Ströme fließen.

• Wie kann man die Bremswirkung mit der Energieerhaltung begründen?

Selbstinduktion

a) Erklären Sie den Begriff der Selbstinduktion indem Sie einen passenden Versuch beschreiben.

b) Begründen Sie, warum die Spannung der Selbstinduktion an einer Spule proportional zur Änderung der Stromstärke ist.

Induktivität

a) Eine Spule hat eine Induktivität von 10 H (Henry).

Was bedeutet das?

b) Eine Spule hat 1000 Windungen und einen geschlossenen Eisenkern mit einer Permeabilitätszahl von [math]\mu_r = 2000[/math].

Berechnen Sie ihre Induktivität.

Elektrische Wirbelfelder

Fußnoten

1. ↑ Diese Formel zur Berechnung der Spannung an einer Spule in Abhängigkeit von der Stromstärkeänderung spielt bei der Induktivität einer Spule eine Rolle.