Überlagerung von harmonischen Schwingungen (Fouriersyntese): Unterschied zwischen den Versionen

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(Animation: Darstellung der Überlagerung mit Zeigern)
 
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==Versuch: Messung von Luftschwingungen ==
 
==Versuch: Messung von Luftschwingungen ==
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===Aufbau:===
 
===Aufbau:===
 
[[Bild:Schallwellen.PNG|thumb|Aufzeichnen von Schallwellen mit dem Oszilloskop]]
 
[[Bild:Schallwellen.PNG|thumb|Aufzeichnen von Schallwellen mit dem Oszilloskop]]
Um Aussagen über die Überlagerung und Zerlegung von Schwingungen zu machen, haben wir zunächst einige Versuche durchgeführt. Dazu wurde ein Mikrofon an ein Oszilloskop angeschlossen, der die entsprechende graphische Darstellung der Schwingungen liefert.
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Um den Klang von Tönen physikalisch zu untersuchen müssen wir sie Messen. Dazu wurde ein Mikrofon an ein Speicher-Oszilloskop angeschlossen, das die entsprechende graphische Darstellung der Töne liefert. Die Speicherung gestattet es die Anzeige festzuhalten und in Ruhe zu betrachten.
Das Mikrophon übersetzt die Druckveränderungen in Spannungsveränderungen, welche am Oszilloskop angezeigt werden. Die x-Achse der Darstellung ist die Zeit, die y-Achse die Spannung.
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#Wir haben Töne erzeugt, wie z.B. gesungene Vokale oder eine Stimmgabel angeschlagen.
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'''1)''' Wir haben Töne erzeugt, wie z.B. gesungene Vokale oder eine Stimmgabel angeschlagen.
#Wir haben mit Hilfe eines Sinusgenerators, der an einen Lautsprecher angeschlossen ist und einer Stimmgabel gleichzeitig einen hohen und einen tiefen Ton erzeugt.
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#Wir haben zwei Stimmgabeln gleichzeitig angeschlagen, wobei an einer ein Reiter befestigt war.
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'''2)''' Wir haben mit Hilfe zweier Stimmgabeln gleichzeitig einen hohen (2000Hz) und einen tiefen Ton (440Hz) erzeugt.
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'''3)''' Wir haben zwei Stimmgabeln (440Hz) gleichzeitig angeschlagen, wobei an dem Zinken einer Stimmgabel in unterschiedlichen Höhen ein Reiter befestigt war.
  
 
===Beobachtung:===
 
===Beobachtung:===
#Beim Singen von Vokalen z.B. konnte man feststellen, dass jeder Vokal eine charakteristische Kurve hat. Je reiner der Ton ist, desto deutlicher kann man eine Sinuskurve erkennen.
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#Die angezeigte Kurve sieht aus, wie eine Überlagerung beider Töne.
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;1) Verschiedene Töne
#Bei den zwei Stimmgabeln hörte man einen wabernden Ton. (Waa-Waa-Waa) Dabei konnte man folgende Beobachtung machen: wenn der Frequenzunterschied der Stimmgabeln gering ist, ist die Frequenz  kleiner. Ist aber der Frequenzunterschied groß, so ist die Frequenz größer. Auf dem Monitor wird eine Schwingung mit sich regelmäßig ändernden Amplituden angezeigt.
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:Beim Singen von Vokalen z.B. konnte man feststellen, dass jeder Vokal eine charakteristische Kurve hat. Je reiner der Ton klingt, desto deutlicher kann man eine Sinuskurve erkennen.
   
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;2) Zwei Stimmgabeln
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:Man hört eben beide Töne gleichzeitig. Die am Oszilloskop angezeigte Kurve sieht aus wie eine Überlagerung beider einzelnen Kurven.
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;3) Zwei ähnliche Stimmgabeln
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:Bei den zwei Stimmgabeln hörte man einen wabernden Ton, der periodisch lauter und leiser wurde. (Waa-Waa-Waa) Wenn der Reiter unten befestigt ist, wechselte Laut und Leise sich nur langsam ab. Ist der Reiter am oberen Ende des Zinkens, so wechselt Laut und Leise sehr schnell und der Ton hört sich sehr schief an. Auf dem Monitor wird eine Schwingung mit sich regelmäßig ändernden Amplituden angezeigt.
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Bild:Schwebung_schnell_Standbild.jpg|Reiter am oberen Ende    <br>  ([[Media:Schwebung_schnell.ogg|Zum Video]])
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===Erklärung===
 
===Erklärung===
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Zwei Sachen sind dabei bemerkenswert. Das Trommelfell schwingt offensichtlich auch mit mehreren Frequenzen gleichzeitig, kann aber doch nur eine Bewegung machen! Wir hören aber kein Gemisch von zwei Tönen, sondern zwei klar getrennte! Die Luftschwingungen überlagern sich zunächst um dann vom Ohr und dem Gehirn wieder in zwei Töne getrennt zu werden. Hier wird zunächst nur die Überlagerung besprochen. Die Trennung in verschiedene Frequenzen nennt man [[Zerlegung in harmonische Schwingungen (Fourieranalyse)|Fourieranalyse]].
  
2. Die Überlagerung ergibt sich im Zeigerdiagramm aus einem schnell drehenden und einem langsam drehenden Zeiger.
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Die Stimmgabeln schwingen und versetzen die Luft in Schwingungen. (Der Kasten an den Stimmgabeln hilft durch die große Oberfläche die Energie an die Luft abzugeben.) Beim Singen oder Sprechen regen wir die in unserer Lunge und im Mundraum vorhandene Luft zu einer selbsterregten Schwingung an. Das heißt, die Luft wird periodisch zusammengedrückt und auseinandergezogen. Diese Verschiebungen der Luftmoleküle führen zu Druckveränderungen und setzen sich durch die Luft bis an unser Trommelfell oder an das Mikrophon fort. <ref>Diese Weiterleitung einer Schwingung beschreibt genau das Phänomen einer [[Grundbegriffe und Beispiele zu mechanischen Wellen|Welle]].</ref>  Das Trommelfell wird durch die Schwingung der Luft <ref>Genauer durch den ''Druckunterschied'' zwischen den beiden Seiten des Trommelfells.</ref> ebenfalls in Schwingungen versetzt.
[[Bild:Schwingung_Überlagerung_Frequenz_eins_zu_20_in_Phase.png|none]]
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Das Mikrophon übersetzt die Lageveränderungen der Luftmoleküle in Spannungsveränderungen, welche am Oszilloskop angezeigt werden. Die x-Achse der Darstellung ist die Zeit, die y-Achse die Spannung, also die Auslenkung der Luftmoleküle.
  
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;1) Verschiedene Töne
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;2) Zwei Stimmgabeln
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: Durch beide Stimmgabeln wird die Luft periodisch verschoben. Die Luftverschiebungen an unserem Trommelfell überlagern sich und somit auch die Bewegung des Trommelfells.
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:Mathematisch bedeutet die Überlagerung einfach eine Addition der Auslenkungen <math>y(t)=y_1(t)+y_2(t)</math>. Man muß also die Sinuskurven der Auslenkungen addieren. Das kann man durch die Addition von zwei Funktionen an jeder Stelle machen. Einfacher ist es aber, die Zeiger der beiden Schwingungen zu addieren <math>z(t)=z_1(t)+z_2(t)</math>. Die Überlagerung ergibt sich im Zeigerdiagramm aus einem schnell drehenden und einem langsam drehenden Zeiger.
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;3) Zwei ähnliche Stimmgabeln
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:Mit Hilfe eines Reiters auf der Stimmgabel kann man die Frequenz verändern. Es gab zwei Thesen, die eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung der Frequenz vermuteten:
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:Einmal könnte der Reiter die Länge des schwingenden Zinkens verkürzen. Dadurch verkleinert sich die Masse und die Frequenz steigt an. Andererseits könnte die Länge des Zinkens unverändert bleiben und der Reiter die Masse des schwingenden Zinkens vergrößern. Dadurch verkleinert sich die Frequenz.
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:Nun, wir haben zwei Experimente zur Entscheidung gemacht: Der Ton mit Reiter hört sich tiefer an. Außerdem führte eine Berührung des Reiters zu einer Dämpfung. Der Reiter schwingt also mit und verkürzt nicht die Länge des schwingenden Zinkens.
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:Die beiden Schwingungen überlagern sich zu einer Schwingung, deren Amplitude sich ändert. Im Zeigerdiagramm rotieren zwei Zeiger mit leicht unterschiedlicher Winkelgeschwindigkeit.
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:Hat sich der Phasenunterschied auf <math>\pi</math> vergrößert, so sind die Schwingungen gegenphasig und die Amplitude wird klein oder sogar Null. Sind die Schwingungen wieder in Phase und die Zeiger parallel, so wird die Amplitude maximal.
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:Der Zeiger der Summe hat keine konstante Winkelgeschwindigkeit mehr, er dreht sich mal schneller und mal langsamer. Außerdem ändert sich ständig die Zeigerlänge und so kann man der Überlagerung nicht sinnvoll eine Amplitude zuordnen. Die Überlagerung ist also keine harmonische Schwingung mehr.
  
3. Mit Hilfe eines Reiters auf der Stimmgabel kann man die Frequenz verkleinern. Stellt man sich die Stimmgabel vereinfacht als Federpendel vor, so ist klar, dass die Vergrößerung der Masse eine geringe Frequenz zur Folge hat.
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==Animation: Darstellung der Überlagerung mit Zeigern==
 
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Die beiden Schwingungen überlagern sich zu einer Schwingung, deren Amplitude sich ändert.
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Im Zeigerdiagramm rotieren zwei Zeiger mit leicht unterschiedlicher Winkelgeschwindigkeit.
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Hat sich der Phasenunterschied auf <math>\pi</math> vergrößert, so sind die Schwingungen gegenphasig und die Amplitude wird klein oder sogar Null. Sind die Schwingungen wieder in Phase und die Zeiger parallel, so wird die Amplitude maximal.
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==Ergebnisse==
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===Schwingungen mit fast gleicher Frequenz (Schwebung)===
 
Diese Schwebung ist nicht so ausgeprägt, weil die Amplituden unterschiedlich sind:
 
Diese Schwebung ist nicht so ausgeprägt, weil die Amplituden unterschiedlich sind:
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Für die Frequenz der Schwebung gilt: <math>f_s = |f_2-f_1|</math>
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Für die Frequenz der Schwebung gilt: <math>f_s = |f_2-f_1|</math>
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Das kann man folgendermaßen begründen: Es dauert t Sekunden, bis der schnellere Zeiger, den langsamen wieder eingeholt hat:
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Das kann man folgendermaßen begründen: In der Zeit t drehen sich die Zeiger um die Winkel <math>\alpha_1=\omega_1 \,t</math>, bzw um  <math>\alpha_2=\omega_2 \, t</math>. Der Winkel zwischen den Zeigern beträgt <math>\alpha_s = \omega_2 \, t - \omega_1 \, t = (\omega_2-\omega_1)\,t</math>. Der "Zwischenwinkel" vergrößert oder verkleinert sich also mit der Differenz-Geschwindigkeit <math>\omega_s = \omega_2-\omega_1</math>.
:<math>2 \pi = \omega_2 \, -\omega_1 \, t</math>
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:<math>\Rightarrow t= \frac{\omega_2 - \omega_1}{2 \pi}</math>
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:<math>\Rightarrow f_s= \frac{2 \pi}{\omega_2 - \omega_1} = f_2 - f_1</math>
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Für die Frequenz der Überlagerung gilt: <math>f \approx \frac{f_1 + f_2}{2}</math>
 
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Für die Frequenz der Überlagerung gilt: <math>f = \frac{f_1 + f_2}{2}</math>
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==Überlagerung von Schwingungen mit gleicher Frequenz==
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Alle nachfolgenden Simulationen sind mit einem [[Media:Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen Applet.zip|Applet]] zur Überlagerung zweier harmonischer Wellen entstanden. (ca. 1MB)
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Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz, ohne Phasenverschiebung mit unterschiedlicher Amplitude. Die Elongationen verstärken sich. Im Zeigerdiagramm addieren sich die Zeiger zu einem Zeiger mit größerer Länge. Alle Zeiger drehen sich gleichschnell.
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[[Bild:Schwingung_Überlagerung_gleiche_Frequenz_keine_Phasenverschiebung.png|none]]
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Da die Überlagerung keine harmonische Schwingung ist, ist diese Angabe streng genommen nicht korrekt, denn die Winkelgeschwindigkeit und somit die Frequenz ist nur konstant, wenn die Frequenzen der sich überlagernden Schwingungen gleichgroß sind. Bei unterschiedlichen Frequenzen wird die "Frequenz" der Überlagerung durch die Schwingung mit der größeren Amplitude dominiert.
  
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===Schwingungen mit gleicher Frequenz===
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Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz, ohne Phasenverschiebung mit unterschiedlicher Amplitude. Die Elongationen vergrößern sich. Im Zeigerdiagramm addieren sich die Zeiger zu einem Zeiger mit größerer Länge. Alle Zeiger drehen sich gleichschnell.
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[[Bild:Welle_Interferenz_konstruktiv.png|770px|none]]
  
 
Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz, gegenphasig mit unterschiedlicher Amplitude. Die Elongationen schwächen sich. Im Zeigerdiagramm addieren sich die Zeiger zu einem Zeiger mit kleinerer Länge. Alle Zeiger drehen sich gleichschnell.
 
Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz, gegenphasig mit unterschiedlicher Amplitude. Die Elongationen schwächen sich. Im Zeigerdiagramm addieren sich die Zeiger zu einem Zeiger mit kleinerer Länge. Alle Zeiger drehen sich gleichschnell.
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[[Bild:Schwingung Überlagerung gleiche Frequenz beliebige Phase.png|none]]
 
[[Bild:Schwingung Überlagerung gleiche Frequenz beliebige Phase.png|none]]
  
Überlagern sich zwei harmonische Schwingungen, so entsteht eine harmonische Schwingung
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{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
derselben Frequenz. Die Amplitude erhält man durch Zeigeraddition,
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sie hängt auch von der Phasenverschiebung  ab.
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Überlagern sich zwei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz, so entsteht eine harmonische Schwingung derselben Frequenz.
  
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Die Amplitude erhält man durch Zeigeraddition, sie hängt von der Phasenverschiebung ab.
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==Überlagerung von Schwingungen mit unterschiedlicher Frequenz==
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===Schwingungen mit unterschiedlicher Frequenz===
  
 
Überlagerung zweier Schwingungen mit dem Frequenzverhältnis von 1:2, ohne Phasenverschiebung mit unterschiedlicher Amplitude.
 
Überlagerung zweier Schwingungen mit dem Frequenzverhältnis von 1:2, ohne Phasenverschiebung mit unterschiedlicher Amplitude.
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[[Bild:Schwingung Überlagerung Frequenz eins zu zwei in Phase.png|none]]
 
[[Bild:Schwingung Überlagerung Frequenz eins zu zwei in Phase.png|none]]
  
Bei der Überlagerung von harmonischen Schwingungen unterschiedlicher Frequenz entstehen
+
{|class="wikitable" style="border-style: solid; border-width: 4px "
im Allgemeinen keine harmonischen Schwingungen.
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 +
Bei der Überlagerung von harmonischen Schwingungen unterschiedlicher Frequenz entstehen keine harmonischen Schwingungen.
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|}
  
 +
==Fußnoten==
 +
<references />
  
  
==Frequenzanalyse mit dem Computer==
+
==Links==
===Aufbau:===
+
*[http://www.schulphysik.de/ntnujava/sound/sound.html Applet Fouriersynthese]
Ein Mikrophon wird an einen Computer angeschlossen. (CASSY) Die Software analysiert die aufgenommene (nichtharmonische!) Schwingung, indem sie harmonische Schwingungen sucht, zu denen man die aufgenommene Schwingen überlagern kann. Das Programm muss also zu jeder Frequenz eine Amplitude suchen.
+
*[http://www.zeitnitz.eu/scms/scope_de?mid=3.01 PC-Oszilloskop "Scope"] (Christian Zeitnitz, kostenlos für Privatanwender und Schulen)
 +
*[http://www.zen22142.zen.co.uk/Prac/winscope.htm PC-Oszilloskop "Winscope"] (Andy Collinson, kostenlos)
 +
*[https://gitorious.org/osqoop/pages/Home#toc_0 PC-Oszilloskop "Osqoop"] (Nicht so einfach zu installieren ([http://nonlinear.eecs.berkeley.edu/chaos/Osqoop_Build_Instructions.txt Tipps]), benötigt QT4)
  
Angezeigt wird die Amplitude über der Frequenz, das sogenannte Frequenzspektrum oder auch Spektrum.
 
  
Wir singen verschiedene Töne und spielen Musikinstrumente.
+
* Vorlesung: [https://www.youtube.com/watch?v=f4M-6tWtkoA Resonance and the Sounds of Music] (Walter Lewin)
 
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===Beobachtung:===
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[[Bild:Schwingung_Frequenzanalyse_Rauschen.png|thumb|Frequenzspektrum eines mit dem Mund erzeugten Rauschens.]]
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Allgemein haben wir bei den versch Tönen beobachten können, dass sie sowohl aus wenigen (bis zu einem), als auch aus vielen (bei uns waren es bis zu 6) Obertönen bestehen können.
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So bestand z.B. ein mit dem Mund erzeugtes "a" aus etwa 5 Obertönen, die sich in dem Bereich um 2000Hz verteilten.
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Hingegen kennzeichnete sich ein "a", welches mit dem Fagott gespielt wurde durch eigentlich nur einen Oberton bei 1000Hz aus.
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Senken wir jedoch die Frequenz, erkennen wir ein häufigeres auftreten von Obertönen. 
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Weiterhin sind wir noch auf zwei extreme Spezialfälle gestoßen:
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Einmal betrachteten wir eine Stimmgabel, welche einen großen und wenig kleien Obertöne besaß.
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Der Amplitude des großen Obertons wurde eine Frequenz von zimlich genau 1000Hz zugeordnet.
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Anderseits betrachteten wir "Rauschen", welches sich, wie wir sahen, durch viele Obertöne, also durch relativ hohe Amplituden bei mölichst jeder Frequenz, kennzeichnet
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===Erklärung===
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==Links==
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*[[Media:Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen Applet.zip|Applet zur Überlagerung zweier harmonischer Wellen (ca. 1MB)]]
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*[http://www.schulphysik.de/ntnujava/sound/sound.html Applet Fouriersynthese]
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Aktuelle Version vom 13. Juni 2023, 15:33 Uhr

(Kursstufe > Mechanische Schwingungen)


Versuch: Messung von Luftschwingungen

Das Speicher-Oszilloskop mit Mikrophon und den Stimmgabeln.

Aufbau:

Aufzeichnen von Schallwellen mit dem Oszilloskop

Um den Klang von Tönen physikalisch zu untersuchen müssen wir sie Messen. Dazu wurde ein Mikrofon an ein Speicher-Oszilloskop angeschlossen, das die entsprechende graphische Darstellung der Töne liefert. Die Speicherung gestattet es die Anzeige festzuhalten und in Ruhe zu betrachten.

1) Wir haben Töne erzeugt, wie z.B. gesungene Vokale oder eine Stimmgabel angeschlagen.

2) Wir haben mit Hilfe zweier Stimmgabeln gleichzeitig einen hohen (2000Hz) und einen tiefen Ton (440Hz) erzeugt.

3) Wir haben zwei Stimmgabeln (440Hz) gleichzeitig angeschlagen, wobei an dem Zinken einer Stimmgabel in unterschiedlichen Höhen ein Reiter befestigt war.

Beobachtung:

1) Verschiedene Töne
Beim Singen von Vokalen z.B. konnte man feststellen, dass jeder Vokal eine charakteristische Kurve hat. Je reiner der Ton klingt, desto deutlicher kann man eine Sinuskurve erkennen.
2) Zwei Stimmgabeln
Man hört eben beide Töne gleichzeitig. Die am Oszilloskop angezeigte Kurve sieht aus wie eine Überlagerung beider einzelnen Kurven.
3) Zwei ähnliche Stimmgabeln
Bei den zwei Stimmgabeln hörte man einen wabernden Ton, der periodisch lauter und leiser wurde. (Waa-Waa-Waa) Wenn der Reiter unten befestigt ist, wechselte Laut und Leise sich nur langsam ab. Ist der Reiter am oberen Ende des Zinkens, so wechselt Laut und Leise sehr schnell und der Ton hört sich sehr schief an. Auf dem Monitor wird eine Schwingung mit sich regelmäßig ändernden Amplituden angezeigt.

Erklärung

Zwei Sachen sind dabei bemerkenswert. Das Trommelfell schwingt offensichtlich auch mit mehreren Frequenzen gleichzeitig, kann aber doch nur eine Bewegung machen! Wir hören aber kein Gemisch von zwei Tönen, sondern zwei klar getrennte! Die Luftschwingungen überlagern sich zunächst um dann vom Ohr und dem Gehirn wieder in zwei Töne getrennt zu werden. Hier wird zunächst nur die Überlagerung besprochen. Die Trennung in verschiedene Frequenzen nennt man Fourieranalyse.

Die Stimmgabeln schwingen und versetzen die Luft in Schwingungen. (Der Kasten an den Stimmgabeln hilft durch die große Oberfläche die Energie an die Luft abzugeben.) Beim Singen oder Sprechen regen wir die in unserer Lunge und im Mundraum vorhandene Luft zu einer selbsterregten Schwingung an. Das heißt, die Luft wird periodisch zusammengedrückt und auseinandergezogen. Diese Verschiebungen der Luftmoleküle führen zu Druckveränderungen und setzen sich durch die Luft bis an unser Trommelfell oder an das Mikrophon fort. [1] Das Trommelfell wird durch die Schwingung der Luft [2] ebenfalls in Schwingungen versetzt. Das Mikrophon übersetzt die Lageveränderungen der Luftmoleküle in Spannungsveränderungen, welche am Oszilloskop angezeigt werden. Die x-Achse der Darstellung ist die Zeit, die y-Achse die Spannung, also die Auslenkung der Luftmoleküle.

1) Verschiedene Töne
2) Zwei Stimmgabeln
Durch beide Stimmgabeln wird die Luft periodisch verschoben. Die Luftverschiebungen an unserem Trommelfell überlagern sich und somit auch die Bewegung des Trommelfells.
Mathematisch bedeutet die Überlagerung einfach eine Addition der Auslenkungen [math]y(t)=y_1(t)+y_2(t)[/math]. Man muß also die Sinuskurven der Auslenkungen addieren. Das kann man durch die Addition von zwei Funktionen an jeder Stelle machen. Einfacher ist es aber, die Zeiger der beiden Schwingungen zu addieren [math]z(t)=z_1(t)+z_2(t)[/math]. Die Überlagerung ergibt sich im Zeigerdiagramm aus einem schnell drehenden und einem langsam drehenden Zeiger.
3) Zwei ähnliche Stimmgabeln
Mit Hilfe eines Reiters auf der Stimmgabel kann man die Frequenz verändern. Es gab zwei Thesen, die eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung der Frequenz vermuteten:
Einmal könnte der Reiter die Länge des schwingenden Zinkens verkürzen. Dadurch verkleinert sich die Masse und die Frequenz steigt an. Andererseits könnte die Länge des Zinkens unverändert bleiben und der Reiter die Masse des schwingenden Zinkens vergrößern. Dadurch verkleinert sich die Frequenz.
Nun, wir haben zwei Experimente zur Entscheidung gemacht: Der Ton mit Reiter hört sich tiefer an. Außerdem führte eine Berührung des Reiters zu einer Dämpfung. Der Reiter schwingt also mit und verkürzt nicht die Länge des schwingenden Zinkens.
Die beiden Schwingungen überlagern sich zu einer Schwingung, deren Amplitude sich ändert. Im Zeigerdiagramm rotieren zwei Zeiger mit leicht unterschiedlicher Winkelgeschwindigkeit.
Hat sich der Phasenunterschied auf [math]\pi[/math] vergrößert, so sind die Schwingungen gegenphasig und die Amplitude wird klein oder sogar Null. Sind die Schwingungen wieder in Phase und die Zeiger parallel, so wird die Amplitude maximal.
Der Zeiger der Summe hat keine konstante Winkelgeschwindigkeit mehr, er dreht sich mal schneller und mal langsamer. Außerdem ändert sich ständig die Zeigerlänge und so kann man der Überlagerung nicht sinnvoll eine Amplitude zuordnen. Die Überlagerung ist also keine harmonische Schwingung mehr.

Animation: Darstellung der Überlagerung mit Zeigern

(Zur Datei und zum Programm)

Ergebnisse

Schwingungen mit fast gleicher Frequenz (Schwebung)

Diese Schwebung ist nicht so ausgeprägt, weil die Amplituden unterschiedlich sind:

Schwingung Überlagerung Schwebung gleiche Amplitude.png

Für die Frequenz der Schwebung gilt: [math]f_s = |f_2-f_1|[/math]

Das kann man folgendermaßen begründen: In der Zeit t drehen sich die Zeiger um die Winkel [math]\alpha_1=\omega_1 \,t[/math], bzw um [math]\alpha_2=\omega_2 \, t[/math]. Der Winkel zwischen den Zeigern beträgt [math]\alpha_s = \omega_2 \, t - \omega_1 \, t = (\omega_2-\omega_1)\,t[/math]. Der "Zwischenwinkel" vergrößert oder verkleinert sich also mit der Differenz-Geschwindigkeit [math]\omega_s = \omega_2-\omega_1[/math].

Für die Frequenz der Überlagerung gilt: [math]f \approx \frac{f_1 + f_2}{2}[/math]

Da die Überlagerung keine harmonische Schwingung ist, ist diese Angabe streng genommen nicht korrekt, denn die Winkelgeschwindigkeit und somit die Frequenz ist nur konstant, wenn die Frequenzen der sich überlagernden Schwingungen gleichgroß sind. Bei unterschiedlichen Frequenzen wird die "Frequenz" der Überlagerung durch die Schwingung mit der größeren Amplitude dominiert.

Schwingungen mit gleicher Frequenz

Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz, ohne Phasenverschiebung mit unterschiedlicher Amplitude. Die Elongationen vergrößern sich. Im Zeigerdiagramm addieren sich die Zeiger zu einem Zeiger mit größerer Länge. Alle Zeiger drehen sich gleichschnell.

Welle Interferenz konstruktiv.png

Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz, gegenphasig mit unterschiedlicher Amplitude. Die Elongationen schwächen sich. Im Zeigerdiagramm addieren sich die Zeiger zu einem Zeiger mit kleinerer Länge. Alle Zeiger drehen sich gleichschnell.

Schwingung Überlagerung gleiche Frequenz gegenphasig.png

Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz und mit Phasenverschiebung. Wiederum addieren sich die Zeiger, diesmal mit Hilfe eines Vektorparallelogramms. Auch hier drehen sich alle Zeiger gleichschnell.

Schwingung Überlagerung gleiche Frequenz beliebige Phase.png

Überlagern sich zwei harmonische Schwingungen mit gleicher Frequenz, so entsteht eine harmonische Schwingung derselben Frequenz.

Die Amplitude erhält man durch Zeigeraddition, sie hängt von der Phasenverschiebung ab.

Schwingungen mit unterschiedlicher Frequenz

Überlagerung zweier Schwingungen mit dem Frequenzverhältnis von 1:2, ohne Phasenverschiebung mit unterschiedlicher Amplitude.

Schwingung Überlagerung Frequenz eins zu zwei in Phase.png

Bei der Überlagerung von harmonischen Schwingungen unterschiedlicher Frequenz entstehen keine harmonischen Schwingungen.

Fußnoten

  1. Diese Weiterleitung einer Schwingung beschreibt genau das Phänomen einer Welle.
  2. Genauer durch den Druckunterschied zwischen den beiden Seiten des Trommelfells.


Links