Heuristische Lösungen der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödingergleichung: Unterschied zwischen den Versionen
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Aktuelle Version vom 13. Juni 2023, 16:08 Uhr
(Kursstufe > Atomphysik und die Schrödingergleichung)
Inhaltsverzeichnis
Ziel
Wir suchen Funktionen [math]\psi(x)[/math], mit den folgenden Eigenschaften:
- [math]\Psi''(x)=-c (E-E_{pot}(x))\Psi(x)[/math], mit [math]c=\frac{8\pi^2m}{h^2}[/math]
- Die Funktion muss sinnvoll als Zustandsfunktion eines Quants interpretierbar sein.
Eigenschaften der Zustandsfunktion
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Anhand des Beispiels des endlich hohen Potentialtopfes kann man sich die wesentlichen Eigenschaften der Zustandsfunktion klar machen.
- gebundener Zustand: [math]E \lt E_a[/math]
- im Kasten: [math] E \gt E_{pot}[/math]
- Außerhalb des Kastens: [math]E \lt E_{pot}[/math]
- freier Zustand: [math]E \gt E_a[/math]
Übersicht der Eigenschaften
An Orten [math]x[/math] mit "kleinem" Potential: Wellenförmiger Verlauf "Stehende Welle"
- Falls [math]\psi(x)\gt0[/math], dann ist [math]\psi''(x)\gt0[/math], die Kurve [math] \psi(x)[/math] ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).
- Falls [math]\psi(x)\lt0[/math], dann ist [math]\psi''(x)\gt0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] ist linksgekrümmt (Linkskurve).
- Falls [math]\psi(x)=0[/math], dann ist [math]\psi''(x)=0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] hat einen Wendepunkt
An Orten [math]x[/math] mit "großem" Potential: [math] E \lt E_{pot}(x)[/math]: Exponentieller Verlauf "Tunneleffekt"
- Falls [math]\psi(x)\lt0[/math], dann ist [math]\psi''(x)\gt0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] ist linksgekrümmt (Linkskurve).
- Falls [math]\psi(x)\gt0[/math], dann ist [math]\psi''(x)\gt0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).
An Orten mit [math]E = E_{pot}(x)[/math]
- Hier ist [math]\psi''(x)=0[/math], die Kurve [math]\psi(x)[/math] hat einen Wendepunkt.
Randbedingung
Die Zustandsfunktion muss für große und kleine Werte von x gegen Null streben, sonst ist sie nicht normierbar. Die Fläche unter [math]\psi^2[/math] muss Eins betragen.
Links
- Ein intuitiver Zugang zur Schrödingergleichung (Dr. Josef Küblbeck)
- Der Weg zur Schrödinger-Gleichung (Münchner Internetprojekt zur Lehrerfortbildung in Quantenmechanik (milq))