Aufgaben zur Lorentzkraft (Lösungen)

Kraftwirkung auf elektrische Stöme im Magnetfeld

Zug- und Druckspannungen im Magnetfeld

Kraft zwischen (anti-)parallelen Strömen I

In den Zeichnungen ist ein senkrechter Schnitt durch zwei stromdurchflossene parallele Kabel dargestellt. Die Stromrichtung ist durch ein Kreuz oder einen Punkt markiert. a) Zeichnen Sie einige Feldlinien in roter Farbe und einige Feldflächen in grüner Farbe ein.

b) Wie wirkt das Magnetfeld auf die Kabel? Zeichnen Sie Kraftpfeile ein.

c) Erklären Sie die Kraftwirkung mit Hilfe von Zug- und Druckspannungen.

Längs der Feldlinien steht das Magnetfeld unter Zugspannung, längs der Flächen unter Druckspannung. "Die Feldlinien sind wie sich abstoßende Gummibänder." (Vgl. hier)

• 

  Die "Gummibänder" umschließen die Kabel und ziehen sie aufeinander zu.

• 

  Die "Gummibänder" werden längs der Feldflächen auseinandergedrückt.

Kräfte auf Kabel und Spule

Hier ist der senkrechte Schnitt durch ein stromdurchflossenes Kabel und eine stromdurchflossene Spule dargestellt.

a) Zeichnen Sie einige Feldlinien (rot) und Feldflächen (grün) ein.

b) Welche Wirkung haben die Zug- und Druckspannungen auf das Kabel und welche auf die Spule?

• 

  Das Magnetfeld um das Kabel drückt längs der Feldflächen auf das Kabel. Das Kabel wird also zusammengedrückt!

• 

  Viele Feldlinien umschlingen alle Windungen der Spule. Das Magnetfeld zieht also die Spule längs ihrer Achse zusammen.
  Die Flächen verlaufen senkrecht zur Achse zwischen den Kabeln. Das Feld drückt also von Innen gegen die Windungen, und "will" den Radius der Spule vergrößern.

Strom verändert das homogene Feld

Ein stromdurchflossenes Kabel befindet sich zwischen den Polen eines Rechteckmagneten. Durch das Magnetfeld des Kabels verändert sich das Feld zwischen den Polen. a) Zeichen Sie einige Feldlinien (rot) und Flächen (grün) ein.

b) Erklären Sie die Kraftwirkung mit Hilfe von Zug- und Druckspannungen.

c) Erläutern Sie die "Drei-Finger-Regel" oder auch "UVW-Regel" und kennzeichnen Sie die Richtung der Lorentzkraft mit einem Pfeil. Warum verwenden manche die linke und manche die rechte Hand?

Die Antworten werden im "Leiterschaukel-Versuch" erläutert.

Lorentzkraft auf Probeströme im Feld

Richtung der Lorentzkraft

Ein stromdurchflossenes Kabel befindet sich in einem homogenen Magnetfeld. Die (technische) Stromrichtung ist mit einem gelben Pfeil gekennzeichnet, die Feldlinienrichtung mit einem roten und die Richtung der Kraft mit einem blauen Pfeil.

• Ergänzen Sie in den Zeichnungen die fehlende Kraft-, Strom oder Feldlinienrichtung in der entsprechenden Farbe.

• 
• 
• 
• 
• 
• 

Kraft zwischen (anti-)parallelen Strömen II

Dargestellt ist der senkrechte Schnitt durch zwei parallele Kabel und die Stromrichtungen. Die Kabel sind 3cm voneinander entfernt und einen halben Meter lang. (Die Dicke der Kabel wird vernachlässigt.) Durch das linke Kabel fließt ein Strom der Stärke von 20 Ampère, durch das rechte ein Strom der Stärke von 3 Ampère.
Um die Kraftwirkung auf das rechte Kabel zu berechnen, betrachtet man den rechten Strom als Probestrom im Feld des linken Kabels.

a) Zeichen Sie einige Feldlinien des Magnetfeldes des linken Kabels ein.

b) Bestimmen Sie mit der Drei-Finger-Regel die Richtung der Lorentzkraft auf den rechten Strom und zeichnen Sie die Kraftrichtung ein.

c) Berechnen Sie die Feldstärke des linken Magnetfeldes an der Stelle, an der sich das rechte Kabel befindet.

Nach dem Ampèrschen Gesetz gilt:

[math]H=\frac{I}{l} =\frac{I}{2\pi\,r} =\frac{20\,\rm A}{2\pi\cdot 0{,}03\,\rm m} =\frac{20\,\rm A}{0{,}188\,\rm m} =106\rm\frac{A}{m}[/math]

d) Berechnen Sie nun die Lorentzkraft auf den rechten Leiter.

Dazu braucht man die Formel für die Lorentzkraft auf einen Leiter:

[math]F=\mu_0 \, H \, I \, l [/math]

Achtung! Der Buchstabe [math]l[/math] steht hier für die Länge des Leiters, im Ampèrschen Gesetz steht [math]l[/math] für die Länge eines geschlossenen Weges!

[math]F= 1{,}257 \cdot 10^{-6} \frac{\mathrm{V\,s}}{\mathrm{A\,m}} \cdot 106\rm\frac{A}{m} \cdot 3\,\rm A \cdot 0{,}5\,\rm m = 2{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm N = 0{,}20 \,\rm mN [/math]

Die Kraft ist also ziemlich klein.

Man kann statt dem Zahlenwert der Feldstärke auch das Ampèrsche Gesetz einsetzen und erhält eine allgemeine Formel für die Kraft zwischen zwei parallelen Leitern. Zur Unterscheidung der beiden Stromstärken wird die Probestromstärke in Kleinbuchstaben geschrieben:

[math]F=\mu_0 \, H \, i \, l =\mu_0 \, \frac{I}{2\pi\,r} \, i \, l = 2\pi\, \mu_0 \, \frac{I\, i}{r}\, l[/math]

Man kann das mit den Abstandsgesetzen von Massen und Ladungen vergleichen. (Gravitationsgesetz und Coulombsche Gesetze)

e) Berechnen Sie nach der gleichen Methode die Lorentzkraft auf den linken Leiter. Überrascht Sie das Ergebnis?

Man berechnet also die Feldstärke des rechten Kabels an der Stelle des linken Kabels:

[math]H =\frac{I}{2\pi\,r} =\frac{3\,\rm A}{0{,}188\,\rm m} =15{,}9\rm\frac{A}{m}[/math]

[math]F= 1{,}257 \cdot 10^{-6} \frac{\mathrm{V\,s}}{\mathrm{A\,m}} \cdot 15{,}9\rm\frac{A}{m} \cdot 20\,\rm A \cdot 0{,}5\,\rm m = 2{,}0 \cdot 10^{-4}\,\rm N = 0{,}20 \,\rm mN [/math]

Es kommt also die gleiche Kraft raus! Alles andere wäre auch unlogisch, denn nach der Impulserhaltung oder dem Prinzip "actio gleich reactio" muss das Magnetfeld an beiden Kabeln mit der gleichen Kraft ziehen.
Auch die Formel [math]F= 2\pi\, \mu_0 \, \frac{I\, i}{r}\, l[/math] hat diese Symmetrie. Es ist egal, ob man I mit i vertauscht oder nicht.

Definition des Ampères

Die Einheit der elektrischen Stromstärke, das Ampère, ist eine der sieben Basiseinheiten des internationalen Einheitensystems (SI). Alle weiteren Einheiten lassen sich auf diese sieben Basiseinheiten zurückführen. Mit Hilfe von sieben mehr oder weniger praktikablen Messvorschriften wird jeweils eine Einheit festgelegt. Die Definition des Ampères lautet (noch bis ca. 2018):

Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von einem Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je einem Meter Leiterlänge die Kraft [math]2 \!\cdot\! 10^{–7}[/math] Newton hervorrufen würde.

Die Festlegung des Ampères gehört offensichtlich zu den nicht praktikablen Festlegungen. Aber wieso diese scheinbar willkürliche Kraft von [math]2 \!\cdot\! 10^{–7}[/math] Newton pro Meter?

Berechnen Sie dazu die Kraft, die auf ein ein Meter langes Teilstück dieser "unendlich" langen Leiter ausgeübt wird. (Vergleiche dazu die Aufgabe "Kraft zwischen (anti-)parallelen Strömen II"!)

Man kann ein Kabel als Probestrom im Magnetfeld des anderen betrachten. Die Feldstärke eines Kabels in einem Abstand von 1m beträgt nach dem Ampèreschen Gesetz:

[math]H=\frac{I}{l} =\frac{I}{2\pi\,r} =\frac{1\,\rm A}{2\pi\cdot 1\,\rm m}=\frac{1}{2\pi} \,\rm \frac{A}{m}[/math]

Die Lorentzkraft auf ein ein Meter langes Teilstück beträgt damit:

[math]F=\mu_0 \, H \, I \, l = 1{,}257 \cdot 10^{-6} \frac{\mathrm{V\,s}}{\mathrm{A\,m}} \cdot \frac{1}{2\pi} \,\rm\frac{A}{m} \cdot 1\,\rm A \cdot 1\,\rm m = 2{,}00 \cdot 10^{-7}\,\rm N[/math]

Feldstärkemessung mit Probestrom

Ein schon älteres Modell eines Elektromagneten mit eingezeichneten Polen, Feldlinien und Flächen.

Um die magnetische Feldstärke eines Elektromagneten zu messen, hängt man ein 2cm langes Leiterstück senkrecht zu den Feldlinien in das Magnetfeld und misst die darauf wirkende Lorentzkraft. Bei einer Stromstärke von 20A bestimmt man die Kraftwirkung zu 35mN.

Berechnen Sie die Feldstärke des Magnetfeldes.

Die Formel für die Lorentzkraft kann man nach der Feldstärke auflösen:

[math]\begin{alignat}{2} & F &=& \mu_0 \, H \, I \, l & \\ \Rightarrow & H &=& \frac{F}{\mu_0\,I\,l} \\ & &=& \frac{35\cdot 10^{-3}\,\rm N}{1{,}26 \cdot 10^{-6} \frac{\mathrm{V\,s}}{\mathrm{A\,m}} \cdot 20\,\rm A \cdot 0{,}02\,\rm m} \\ & &=& 69400\,\rm\frac{A}{m} \end{alignat} [/math]

Kabel im Erdmagnetfeld

Das Erdmagnetfeld hat in Deutschland eine Stärke von ca. 40A/m. (Das entspricht ca. 50 mikroTesla.)

a) Welche Kraft erfährt ein Stromkabel, dass von 20A durchflossen wird und 1m lang ist maximal?

Die maximale Lorentzkraft beträgt:

[math] F = \mu_0 \, H \, I \, l =1{,}26 \cdot 10^{-6} \frac{\mathrm{V\,s}}{\mathrm{A\,m}}\cdot 40\,\rm\frac{A}{m}\cdot 20\,\rm A \cdot 1\,\rm m = 1 \,\rm mN[/math]

b) Wie muss man das Kabel ausrichten, um die wirkende Kraft möglichst groß oder möglichst klein zu haben?

Wenn das Kabel senkrecht zu den Feldlinien verläuft, also in West-Ost-Richtung, dann ist die Kraft maximal. Richtet man das Kabel parallel zu den Feldlinien aus, also in Nord-Süd-Richtung und in Deutschland ca. 64° zum Erdboden geneigt, dann gibt es gar keine Kraft auf das Kabel.

Lorentzkraft auf bewegte Ladungen im Magnetfeld

Flugbahnen

Die geladenen Teilchen bewegen sich auf ein begrenztes und homogenes Magnetfeld zu.

a) in welche Richtung wirkt beim Eintauchen in das Magnetfeld die Lorentzkraft?

b) Beschreiben Sie die Bahnkurve der Teilchen nach dem Eintauchen und skizzieren Sie eine mögliche in der Zeichnung.

Sonnenwind trifft auf das Erdmagnetfeld

Eine künstlerische Darstellung des Erdmagnetfeldes und des Sonnenwindes.

Der sogenannte "Sonnenwind" besteht aus schnellen, elektrisch positiv oder negativ geladenen Teilchen, die von der Sonne ausgesendet werden. In der Zeichnung sind vier Teilchen und deren Bewegungsrichtung eingezeichnet.

Kennzeichnen Sie die Kraftrichtung auf die Teilchen mit einem Pfeil.

Erklären Sie wie sich die Bahn der Teilchen durch das Erdmagnetfeld ändert.

Hall-Sonde

• Erklären Sie die prinzipielle Funktionsweise einer Hall-Sonde.

Eine Hall-Sonde besteht aus einem Leiterstück, durch das Strom fließt und sich in einem Magnetfeld befindet. Die bewegten Ladungen (bei Metallen Elektronen) werden durch das Magnetfeld bzw. durch die wirkende Lorentzkraft von ihrer Bahn abgelenkt. In der Sonde entsteht nun eine Ladungstrennung (Spannung) senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladungen und senkrecht zu den magnetischen Feldlinien.

Die Spannung kann man messen und mit ihrer Hilfe die Stärke des Magnetfeldes berechnen.

Die Zeichnung kann mit der rechten Maustaste gedreht werden.

• Es wird der Hall-Effekt bei einem Halbleiter und bei Silber untersucht. Folgende Messwerte wurden gefunden:

Silber: (effektive) Länge l=5mm Höhe h=2cm Dicke d=0,1mm Stromstärke I=20A, Hallspannung U= 0,01 mV

Germanium, p-dotiert: Länge l=10mm Höhe h=5mm Dicke d=1mm Stromstärke I=80mA, Hallspannung U= -40mV

In beiden Fällen betrug die magnetische Feldstärke 80000A/m.

a) Berechnen Sie jeweils die Geschwindigkeiten der Ladungsträger.

Auf die Ladungsträger wirkt die Lorentzkraft und eine gleich große, entgegengesetzte elektrische Kraft. (Hier steht die ausführliche Erklärung.) Daraus läßt sich die Hallspannung berechnen:

[math]U_H = \mu_0\, v \, H \, h[/math]

Nun kann man nach der Geschwindigkeit auflösen:

Silber: [math]v_S =\frac{U_H}{\mu_0 \, H \, h} = \frac{0{,}01 \cdot 10^{-3}\,\rm V}{1{,}257 \cdot 10^{-6} \frac{\mathrm{V\,s}}{\mathrm{A\,m}} \cdot 80000\,\rm \frac{A}{m} \cdot 0{,}02\,\rm m} = 4{,}98\cdot 10^{-3}\,\rm\frac{m}{s} \approx 5{,}0\,\rm \frac{mm}{s}[/math]

Germanium: [math]v_G = \frac{40 \cdot 10^{-3}\,\rm V}{1{,}257 \cdot 10^{-6} \frac{\mathrm{V\,s}}{\mathrm{A\,m}} \cdot 80000\,\rm \frac{A}{m} \cdot0{,}005\,\rm m} = 79{,}6\,\rm\frac{m}{s}[/math]

Die Elektronen im Silber "schleichen" also nur dahin, während die Löcher des dotierten Germaniums mit fast 300 km/h sausen! Das liegt daran, dass es im Silber viele Elektronen pro Volumen gibt, welche die Ladung transportieren und im Germanium aber nur wenige Löcher. Um die gleiche Stromstärke zu erreichen, müssen die Löcher viel schneller sein als die Elektronen.

b) Warum ist das Vorzeichen der Hallspannung unterschiedlich?

Das kann man gut an der obigen Animation sehen: Bei einer Stromrichtung von links nach rechts bewegen sich die positiven Löcher im Germanium nach rechts, die Elektronen im Silber aber nach links. Mit Hilfe der Drei-Finger-Regel findet man, dass die Lorentzkraft in beiden Fällen nach oben wirkt. Die entstehende Ladungstrennung, und damit die Spannung, ist dadurch unterschiedlich.