Überlagerung von harmonischen Schwingungen (Fouriersyntese): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 19. Januar 2012, 13:50 Uhr

• Spiegelbild einer Lampe in einer Seifenhaut
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• Wie macht das unser Ohr, das wir zwei oder mehrere Töne gleichzeitig hören können?
• Warum klingt ein "a" eines Saxophons anders als ein gesungenes "a" oder das einer Flöte?
• Wie funktioniert das Stimmen einer Gitarre mit Schwebungen?

Versuch: Messung von Luftschwingungen

Das Speicher-Oszilloskop mit Mikrophon und den Stimmgabeln.

Aufbau:

Aufzeichnen von Schallwellen mit dem Oszilloskop

Um den Klang von Tönen physikalisch zu untersuchen müssen wir sie Messen. Dazu wurde ein Mikrofon an ein Speicher-Oszilloskop angeschlossen, das die entsprechende graphische Darstellung der Töne liefert. Die Speicherung gestattet es die Anzeige festzuhalten und in Ruhe zu betrachten.

1) Wir haben Töne erzeugt, wie z.B. gesungene Vokale oder eine Stimmgabel angeschlagen.

2) Wir haben mit Hilfe zweier Stimmgabeln gleichzeitig einen hohen (2000Hz) und einen tiefen Ton (440Hz) erzeugt.

3) Wir haben zwei Stimmgabeln (440Hz) gleichzeitig angeschlagen, wobei an dem Zinken einer Stimmgabel in unterschiedlichen Höhen ein Reiter befestigt war.

Beobachtung:

1) Verschiedene Töne

Beim Singen von Vokalen z.B. konnte man feststellen, dass jeder Vokal eine charakteristische Kurve hat. Je reiner der Ton klingt, desto deutlicher kann man eine Sinuskurve erkennen.

2) Zwei Stimmgabeln

Man hört eben beide Töne gleichzeitig. Die am Oszilloskop angezeigte Kurve sieht aus wie eine Überlagerung beider einzelnen Kurven.

3) Zwei ähnliche Stimmgabeln

Bei den zwei Stimmgabeln hörte man einen wabernden Ton, der periodisch lauter und leiser wurde. (Waa-Waa-Waa) Wenn der Reiter unten befestigt ist, wechselte Laut und Leise sich nur langsam ab. Ist der Reiter am oberen Ende des Zinkens, so wechselt Laut und Leise sehr schnell und der Ton hört sich sehr schief an. Auf dem Monitor wird eine Schwingung mit sich regelmäßig ändernden Amplituden angezeigt.

Erklärung

Zwei Sachen sind dabei bemerkenswert. Das Trommelfell schwingt offensichtlich auch mit mehreren Frequenzen gleichzeitig, kann aber doch nur eine Bewegung machen! Wir hören aber kein Gemisch von zwei Tönen, sondern zwei klar getrennte! Die Luftschwingungen überlagern sich zunächst um dann vom Ohr und dem Gehirn wieder in zwei Töne getrennt zu werden. Hier wird zunächst nur die Überlagerung besprochen. Die Trennung in verschiedene Frequenzen wird weiter unten besprochen.

Die Stimmgabeln schwingen und versetzen die Luft in Schwingungen. (Der Kasten an den Stimmgabeln hilft durch die große Oberfläche die Energie an die Luft abzugeben.) Beim Singen oder Sprechen regen wir die in unserer Lunge und im Mundraum vorhandene Luft zu einer selbsterregten Schwingung an. Das heißt, die Luft wird periodisch zusammengedrückt und auseinandergezogen. Diese Verschiebungen der Luftmoleküle führen zu Druckveränderungen und setzen sich durch die Luft bis an unser Trommelfell oder an das Mikrophon fort. ^[1] Das Trommelfell wird durch die Schwingung der Luft ^[2] ebenfalls in Schwingungen versetzt. Das Mikrophon übersetzt die Lageveränderungen der Luftmoleküle in Spannungsveränderungen, welche am Oszilloskop angezeigt werden. Die x-Achse der Darstellung ist die Zeit, die y-Achse die Spannung, also die Auslenkung der Luftmoleküle.

1) Verschiedene Töne

2) Zwei Stimmgabeln

Durch beide Stimmgabeln wird die Luft periodisch verschoben. Die Luftverschiebungen an unserem Trommelfell überlagern sich und somit auch die Bewegung des Trommelfells.

Mathematisch bedeutet die Überlagerung einfach eine Addition der Auslenkungen [math]y(t)=y_1(t)+y_2(t)[/math]. Man muß also die Sinuskurven der Auslenkungen addieren. Das kann man durch die Addition von zwei Funktionen an jeder Stelle machen. Einfacher ist es aber, die Zeiger der beiden Schwingungen zu addieren [math]z(t)=z_1(t)+z_2(t)[/math]. Die Überlagerung ergibt sich im Zeigerdiagramm aus einem schnell drehenden und einem langsam drehenden Zeiger.

Datei:Schwingung Überlagerung Frequenz eins zu 20 in Phase.png

3) Zwei ähnliche Stimmgabeln

Mit Hilfe eines Reiters auf der Stimmgabel kann man die Frequenz verändern. Es gab zwei Thesen, die eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung der Frequenz vermuteten:

Einmal könnte der Reiter die Länge des schwingenden Zinkens verkürzen. Dadurch verkleinert sich die Masse und die Frequenz steigt an.

Andererseits könnte die Länge des Zinkens unverändert bleiben und der Reiter die Masse des schwingenden Zinkens vergrößern. Dadurch verkleinert sich die Frequenz.

Nun, wir haben zwei Experimente zur Entscheidung gemacht: Einmal hörte sich der Ton mit Reiter tiefer an. Ausserdem führte eine Berührung des Reiters zu einer Dämpfung. Der Reiter schwingt also mit und verkürzt nicht die Länge des schwingenden Zinkens.

Die beiden Schwingungen überlagern sich zu einer Schwingung, deren Amplitude sich ändert. Im Zeigerdiagramm rotieren zwei Zeiger mit leicht unterschiedlicher Winkelgeschwindigkeit.

Hat sich der Phasenunterschied auf [math]\pi[/math] vergrößert, so sind die Schwingungen gegenphasig und die Amplitude wird klein oder sogar Null. Sind die Schwingungen wieder in Phase und die Zeiger parallel, so wird die Amplitude maximal.

Wenn die beiden Amplituden (Zeigerlängen) nicht gleichgroß sind, dann ist die Summe der Zeiger nicht immer exakt in der Mitte der beiden anderen, weshalb seine Winkelgeschwindigkeit nicht konstant ist. Die Überlagerung ist also in der Regel keine harmonische Schwingung mehr.

Animation: Darstellung der Überlagerung mit Zeigern

Überlagerung von Schwingungen mit fast gleicher Frequenz (Schwebung)

Diese Schwebung ist nicht so ausgeprägt, weil die Amplituden unterschiedlich sind:

Für die Frequenz der Schwebung gilt: [math]f_s = |f_2-f_1|[/math]

Das kann man folgendermaßen begründen: In der Zeit t drehen sich die Zeiger um die Winkel [math]\omega_1 \,t[/math], bzw um [math]\omega_2 \, t[/math]. Es dauert t Sekunden, bis der schnellere Zeiger, den langsamen wieder eingeholt hat:

[math]2 \pi = \omega_2 \, t - \omega_1 \, t[/math]

[math]\Rightarrow t= \frac{\omega_2 - \omega_1}{2 \pi}[/math]

[math]\Rightarrow f_s= \frac{2 \pi}{\omega_2 - \omega_1} = f_2 - f_1[/math]

Für die Frequenz der Überlagerung gilt: [math]f \approx \frac{f_1 + f_2}{2}[/math]

Da die Überlagerung keine harmonische Schwingung ist, ist diese Angabe streng genommen nicht korrekt, denn die Winkelgeschwindigkeit und somit die Frequenz ist nur konstant, wenn die Ampltuden der sich überlagernden Schwingungen gleichgroß sind. Im zeitlichen Mittel ist aber der Summenzeiger der beiden Schwingungen ungefähr in der Mitte der beiden Zeiger, woraus sich als mittlere Frequenz der Mittelwert der überlagerten Schwingen ergibt.

Überlagerung von Schwingungen mit gleicher Frequenz

Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz, ohne Phasenverschiebung mit unterschiedlicher Amplitude. Die Elongationen addieren sich. Im Zeigerdiagramm addieren sich die Zeiger zu einem Zeiger mit größerer Länge. Alle Zeiger drehen sich gleichschnell.

Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz, gegenphasig mit unterschiedlicher Amplitude. Die Elongationen schwächen sich. Im Zeigerdiagramm addieren sich die Zeiger zu einem Zeiger mit kleinerer Länge. Alle Zeiger drehen sich gleichschnell.

Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz und mit Phasenverschiebung. Wiederum addieren sich die Zeiger, diesmal mit Hilfe eines Vektorparallelogramms. Auch hier drehen sich alle Zeiger gleichschnell.

Überlagern sich zwei harmonische Schwingungen, so entsteht eine harmonische Schwingung
derselben Frequenz. Die Amplitude erhält man durch Zeigeraddition, 
sie hängt auch von der Phasenverschiebung  ab.

Überlagerung von Schwingungen mit unterschiedlicher Frequenz

Überlagerung zweier Schwingungen mit dem Frequenzverhältnis von 1:2, ohne Phasenverschiebung mit unterschiedlicher Amplitude.

Bei der Überlagerung von harmonischen Schwingungen unterschiedlicher Frequenz entstehen
im Allgemeinen keine harmonischen Schwingungen.

Versuch: Frequenzanalyse mit dem Computer

Aufbau:

Ein Mikrophon wird an einen Computer angeschlossen. (CASSY) Die Software analysiert die aufgenommene (nichtharmonische!) Schwingung, indem sie harmonische Schwingungen sucht, zu denen man die aufgenommene Schwingen überlagern kann. Das Programm muss also zu jeder Frequenz eine Amplitude suchen.

Angezeigt wird die Amplitude über der Frequenz, das sogenannte Frequenzspektrum oder auch Spektrum.

Wir singen verschiedene Töne und spielen Musikinstrumente.

Beobachtung:

Allgemein haben wir bei den verschiedenen Tönen beobachten können, dass sie sowohl aus wenigen (bis zu einem), als auch aus vielen (bei uns waren es bis zu 6) Obertönen bestehen können. So bestand z.B. ein mit dem Mund erzeugtes "a" aus etwa 5 Obertönen, die sich in dem Bereich um 2000Hz verteilten. Hingegen kennzeichnete sich ein "a", welches mit dem Fagott gespielt wurde durch eigentlich nur einen Oberton bei 1000Hz aus. Senken wir jedoch die Frequenz, erkennen wir ein häufigeres Auftreten von Obertönen.

Spektren eines Fagotts

• Spektren eines Fagotts
• 

  Mundstück

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  a

• 

  gestrichenes a

• 

  tiefes a

• 

  gestrichenes h

• 

  tiefes b

Spektren gesungener Vokale

• Gesungene Vokale
• 

  A

• 

  E

• 

  I

• 

  O

Stimmgabel und Rauschen

Weiterhin sind wir noch auf zwei extreme Spezialfälle gestoßen: Einmal betrachteten wir eine Stimmgabel, welche sehr wenig Obertöne besaß. Der Amplitude des großen Obertons wurde eine Frequenz von ziemlich genau 1000Hz zugeordnet. Anderseits betrachteten wir "Rauschen", welches sich, wie wir sahen, durch viele Obertöne, also durch relativ hohe Amplituden bei möglichst jeder Frequenz, kennzeichnet.

• 

  1000Hz-Stimmgabel

• 

  Frequenzspektrum eines mit dem Mund erzeugten Rauschens.

Erklärung

Das Frequenzspektrum hat uns also Auskunft über die harmonischen Schwingungen der verschiedenen Töne gegeben und gezeigt dass ein Ton, den wir als einen Ton wahr nehmen nicht immer nur aus einer Schwingung besteht. Bei der Stimmgabel sehen wir jedoch genau eine Schwingung (die anderen analysierten Töne seien vernachlässigt, entstehung vielleicht durch Geräusche im Raum). Das ist hierbei aber ziemlich unbeeindruckend, da sie dafür gebaut ist Musikinstrumente zu stimmen und genau auf 1000Hz geeicht ist. Das Gegenextrem zu einem Oberton ist, wie schon in der Beobachtung gesehen, das Rauschen. Auch hier gibt es eine Besonderheit, und zwar wenn jeder Frequenz die gleiche Amplitude zugeordnet wird nennt man das: Weisses Rauschen.

Links

• Applet zur Überlagerung zweier harmonischer Wellen (ca. 1MB)
• Applet Fouriersynthese

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