Aufgaben zu Schwingungen

Aufgaben

Energieformen

Nennen Sie zwei verschiedene Beispiele für eine Schwingung und beschreiben kurz wann dabei welche Energieformen auftreten.

Schaukeltier

Ein Schaukeltier.
(bilderkiste.de)

Ein Kind "reitet" auf einem Feder-Schaukeltier. Erklären Sie anhand dieses Beispiels die Begriffe:

• Ruhelage
• Elongation
• Amplitude
• Rückstellkraft
• Periodendauer
• Frequenz

Nennen Sie noch ein weiteres Beispiel für eine mechanische Schwingung und machen Sie sich wiederum diese Begriffe klar.

Schaukeltier II

Große und kleine Kinder schaukeln auf dem gleichen Tier unterschiedlich. Was ist der Unterschied?

Schaukeltier III

Worauf müssen die Kinder beim "Anschubsen" achten?

Schwingungskategorien

Nennen Sie für jede der verschiedenen Kategorien von Schwingungen ein Beispiel und erläutern Sie es kurz.

• frei
• angeregt
• selbsterregt
• erzwungen

Schwingmännchen

Eine Schwingprinzessin

Wie kann man es erreichen, dass das Männchen "doppelt so schnell", also mit doppelter Frequenz, schwingt?

Schwingmännchen II

Wie verändert sich die Frequenz und die Energie des Männchens, wenn sich

• die Federkonstante verdoppelt
• die Masse verdoppelt
• die Amplitude verdoppelt

und dabei die jeweils anderen Größen unverändert bleiben?

Schwingmännchen III

Das Männchen bringt 200g auf die Waage und verlängert beim Dranhängen die vorher unbelastete Feder um 40cm.

• Wieso beträgt die Federkonstante (D) gerade 1/20 N/cm = 0,05 N/cm?
• Mit welcher Frequenz wird das Männchen schwingen?

Schwingmännchen IV

Eine Schwingung hat die Auslenkung y mit

[math]y(t)=5 \rm{cm} \ \sin(3 \rm{Hz} \ t)[/math]

• Wie groß sind Amplitude, Frequenz und Periodendauer?

• Zeichnen Sie das Ortsdiagramm, das Geschwindigkeitsdiagramm und das Beschleunigungsdiagramm jeweils in ein Koordinatensystem.

• Zeichen Sie zum Ortsdiagramm die Zeiger für die Zeitpunkte t=0 sec, t=0,25 sec und t=1 sec.

• Wo ist das Männchen nach 1,6 Sekunden und wie schnell ist es?

• Wie schnell ist das Männchen maximal?

Eine "Schwingungswaage"

Im Weltraum funktionieren die meisten "normalen" Waagen nicht mehr. Aber trotzdem kann man sich auch dort wiegen!

Der Sitz dieser "Weltraumwaage" ist zwischen zwei Federn gespannt und kann so frei schwingen.

• Erläutern Sie, warum man mit dieser Waage die Masse der Astronautin bestimmen kann.

In einem Modellversuch schwingt ein Wagen zwischen zwei Federn. Die Federkonstante einer Feder beträgt D= 3 N/m. Zusammen wirken sie wie eine Feder mit der doppelten Federkonstante. Der Wagen hat eine Masse von 190,6g.

• Wie schwer ist die Batterie, wenn der Wagen mit ihr nun in 5,6 Sekunden viermal schwingt?

(Ein Video mit einer ähnlichen "body mass measurement device" der NASA findet sich hier.) (Auch LEIFI beschäftigt sich hier damit.)

Wackelnder Rückspiegel

Fahre ich mit meinem Auto ca. 90 km/h , so wackelt der Rückspiegel und das Bild wird dadurch unscharf.

Was könnte ich alles tun, damit der Spiegel aufhört zu schwingen?

harmonische Schwingung

Was ist eine "harmonische" Schwingung?

Zeigermodell

Wie kann man eine harmonische Schwingung mit einem Zeiger beschreiben?

Beschreiben Sie dazu den im Unterricht durchgeführten Versuch.

Energie

Welche Energie hat eine schwingender Körper der Masse 1kg, wenn er eine Periodendauer von 1s und eine Amplitude von 1cm hat?

Energie II

Wie muss ein Körper der Masse 1kg schwingen, damit die Schwingung 1J Energie hat?

Energie III

Zwei gleichschwere Körper schwingen mit der gleichen Amplitude, aber der eine doppelt so schnell wie der andere. Vergleichen sie die Energiemengen.

Wasserstoffmolekül

Ein H₂-Molekül kann man idealisiert als zwei, mit einer Feder verbundene, Körper auffassen. (So wie hier.) Durch eine Messung regt man das Molekül zum Schwingen an und bestimmt die Frequenz der Schwingung zu 9,2 10¹¹ Hz.

Bestimmen sie die "Federkonstante" der gedachten Feder zwischen den Molekülen. Wieviel Energie steckt im Molekül, wenn beide Atome mit einer Amplitude von 10^-10m schwingen?

(Fehlende Angaben entnehmen sie dem Buch oder dem www.)

Molekül-Spektroskopie

• Bei großen oder langen Molekülen findet man viele Frequenzen, bei denen die Energie nicht auf der anderen Seite ankommt. Bei einem Molekül wie Kohlenmonoxid (CO) nur eine. Wie kann man das erklären?

Das CO-Molekül als einfaches Modell.

Das CO-Molekül hat nur eine Eigenschwingung mit einer Eigenfrequenz. Dabei schwingen die Atome aufeinander zu und wieder weg. Größere Moleküle verhalten sich wie ausgedehnte Körper, etwa eine Stange oder eine Platte. Deswegen haben sie viele Eigenschwingungen und viele Eigenfrequenzen.

Wird die Energie in der "passenden" Frequenz zugeführt, so nimmt das Molekül viel Energie auf und gibt sie dann wieder ab. Dabei wird die Energie aber nicht mehr in der ursprünglichen Art und Richtung weitergeleitet.

• Bei Kohlenmonoxid misst man eine Absorbtion bei der Frequenz [math]f=6{,}5\cdot 10^{13}\,\rm Hz[/math]. Als Modell für das Molekül kann man vereinfachend zwei punktförmige Massen annehmen, die mit einer masselosen Feder verbunden sind. (So wie hier.)

Bestimmen Sie die "Federkonstante" des Moleküls.

Die Massen der Atome betragen in etwa: [math]m_C = 12\,\rm u[/math] und [math]m_O = 16\, \rm u[/math], mit [math]u=1{,}66\cdot 10^{-27}\,\rm kg[/math].

Beide Atome schwingen mit der gleichen Frequenz. Der Schwerpunkt liegt dabei näher am massereicheren O-Atom und bleibt erhalten. Das Verhältnis der Abstände zwischen Atom und Schwerpunkt beträgt 16 zu 12 oder 4 zu 3. Nun kann man entweder die Schwingung des C-Atoms betrachten und die Federkonstante diesen Teils der Feder berechnen oder eben den Teil des O-Atoms. Für das Sauerstoffatom gilt:

[math]\omega^2=\frac{D_O}{m} \quad \Rightarrow \quad D = \omega^2 \, m = 4\pi^2\, (6{,}5\cdot 10^{13}\,\rm Hz)^2 \cdot 16\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}\,\rm kg = 4430 \frac{\rm N}{\rm m}[/math]

Dies ist die Federhärte von [math]3/7[/math] der Feder. Die ganze Feder ist um den Faktor [math]7/3[/math] länger und somit weniger hart, die Federhärte der gesamten Feder beträgt:

[math]D= 4430 \frac{\rm N}{\rm m}: \frac{7}{3} = 1900 \frac{\rm N}{\rm m}[/math]

Genauere Informationen findet man im Artikel "Infrarotspektroskopie" bei Wikipedia oder Interessantes zum Verhalten von CO_2 beim Treibhauseffekt in diesem Artikel der Chemiedidaktik Bayreuth zu Grundlagen der IR-Spektroskopie.

Schwieriges und Anderes

1 Schwebung

Zwei Stimmgabeln erzeugen eine Schwebung, weil die eine mit einem Reiter versehen wurde. Die Frequenz derjenigen ohne Reiter beträgt 440 Hz. Schätzen Sie die Frequenz der anderen Stimmgabel ab.

2 Überlagerung

Bestimmen Sie jeweils die Schwingung, die aus der Überlagerung von y₁ und y₂ entsteht mit Hilfe des Zeigerdiagramms:

1. [math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi)[/math]
2. [math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 4cm sin(2t+\pi/2)[/math]
3. [math]y_1 = 2cm \, sin(2t)\qquad y_2 = 2cm sin(2t+\pi)[/math]

7 Schwingung bei bekannter Energie

Zwei Wagen, die beide eine Masse von 600g haben, sind mit einer Feder der Härte 1N/cm verbunden. Wie schwingen die Wagen, wenn ihnen eine Energie von 1Joule zugeführt wird?

9 E_kin = E_Spann

Für welche Auslenkung verteilt sich die Energie eines (horizontalen) Federpendels gerade je zur Hälfte auf die Feder und den Impuls?

10 Zeitlicher Mittelwert von E_kin und E_Spann

Bestimmen sie das zeitliche Mittel der kinetischen und potentiellen Energie (Spannenergie der Feder) eines (horizontalen) Federpendels an einem selbst gewählten Beispiel. Hinweise:

[math]E_{kin}(t)=m/2 \, v(t)^2 \qquad E_{pot}=D/2 \, y(t)^2[/math]

Den Mittelwert einer Funktion f(x) von x₁ bis x₂ bestimmt man mit Hilfe des Integrals:

[math]\bar f = \frac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2}f(x) dx[/math]

Anschaulich bestimmt man zur Fläche zwischen Schaubild und x-Achse ein Rechteck gleicher Fläche. Die Höhe des Rechtecks ist gerade der Mittelwert.