Die Maxwellschen Gleichungen

(Kursstufe > Elektro-Magnetismus)

Michael Faraday und James Clerk Maxwell

Michael Faraday (1791 bis 1867)

James Maxwell (1831 bis 1879)

Der 1831 in Edinburgh geborene James Maxwell war, bis zu seinem Tod 1879, einer der bedeutensten Physiker des 20.ten Jahrhunderts. Zu seinen wichtigsten Entdeckungen zählen die Geschwindigkeitsverteilung von Gasmolekülen (Maxwellverteilung), die Vereinigung elektrischer und magnetischer Phenomene zum Elektromagnetismus (Maxwellsche Gleichungen), sowie Theorien über die (elektromagnetische)-Wellenartigkeit des Lichts.

"War es ein Gott, der diese Zeichen schrieb, Die mit geheimnißvoll verborg'nem Trieb Die Kräfte der Natur um mich enthüllen, Und mir das Herz mit stiller Freude füllen."

Ludwig Boltzmann

"[...] Können - so frage ich - diese [physikalischen Wirkungen] nicht in der Alltagssprache ebenso vollständig, klar und unzweideutig ausgedrückt werden wie in mathematischen Formeln? Wenn ja, wäre es nicht eine große Wohltat an unseresgleichen sie [...] aus ihren Hieroglyphen zu übersetzen, damit wir, auf experimentellem Wege, an ihnen weiterarbeiten können? Ich glaube, das muß so sein, denn ich habe immer gefunden, daß sie [Maxwell] mir vollständig klare Begriffe von Ihren Schlußfolgerungen geben konnten [...] und das in so klarer Form, daß ich auf ihrer Grundlage weiterdenken und -arbeiten kann."

Michael Faraday an James Maxwell.

"Ich [bemerkte] bald, daß Faradays Methode, die Vorgänge zu betrachten, ihrem Wesen nach ebenfalls eine mathematische ist, obzwar er sich nicht der üblichen mathematischen Symbole bedient. Ich sah auch, daß seine Methode die Möglichkeit bietet, sie in die Sprache der der gewöhnlichen Mathematik zu übersetzen [...]."

James Maxwell

"[...] Erscheinungen der Elektrizität und des Magnetismus führen zu denselben Schlußfolgerungen wie jene der Optik, daß es nämlich ein alle Körper durchdringende ätherisches Medium gibt, das [...] durch die Anwesenheit von Materie modifiziert wird; daß die Teile dieses Mediums durch elektrische Stöme und durch Magnete in Bewegung gesetzt werden können, "

James Maxwell

Elektro- und Magnetostatik

Die 3. Maxwellsche Gleichung (Erzeugung von elektrischen Feldern durch Ladung und Polarisation)

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Siehe: Felderzeugende Ladung und Feldstärke Weitere Abstraktion:

[math]{Q \over A}=\epsilon_0 E[/math]

[math]Q = \epsilon_0 E \, A = \epsilon_0 \int E \cdot dA[/math] (bei genauerer Betrachtung)

[math]Q = \epsilon_0 \int E \cdot dA[/math]

Die Summe der elektrischen Feldstärke von allen Punkten einer geschlossenen 
Fläche entspricht der elektrischen Ladung innerhalb dieser Fläche.

Material im elektrischen Feld:

Auch die Enden der Polarisation sind Quellen und Senken der elektrischen Feldstärke. "Es gehen genausoviele Polarisierungslinien hinein wie elektrische Feldstärkelinien heraus."

[math]\epsilon_0 \int E \cdot dA = -\int P \cdot dA[/math]

An den Enden des polarisierten Gegenstandes befinden sich Polarisationsladungen, welche die Quellenstärke angeben:

[math]Q_{pol} = -\int P \cdot dA[/math]

Zusammen mit den elektrischen Ladungen gibt es also zwei Möglichkeiten Quellen und Senken der elektrischen Feldstärke zu erzeugen:

[math]\epsilon_0 \int E \cdot dA = Q + Q_{pol} \qquad \text{mit} \qquad Q_{pol} = -\int P \cdot dA[/math]

Es ist üblich die Polarisierung und die elektrische Feldstärke zu einer Größe, der "elektrischen Flusdichte D" zusammenzufassen. Die elektrische Flussdichte entspricht in einfachen Fällen, wie einem Kondensator, der Flächenladungsdichte.

[math] \int (\epsilon_0 E + P )\cdot dA = Q [/math]

[math]\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}[/math]

[math] \int D \cdot dA = Q [/math]

Die 4. Maxwellsche Gleichung (Erzeugung von magnetischen Feldern durch Magnetisierung)

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Die Enden der Magnetisierung sind Quellen und Senken der magnetischen Feldstärke. "Es gehen genausoviele Magnetisierungslinien hinein wie magnetische Feldstärkelinien heraus."

[math]\mu_0 \int E \cdot dA = -\mu_0\, \int M \cdot dA[/math]

Die Quellenstärke wird also durch die Stärke der Pole gegeben. Diese Polstärke kann man auch als "magnetische Ladung" bezeichnen:

[math]Q_{mag}= -\mu_0 \, \int M \cdot dA[/math]

Im Gegensatz zum elektrischen Feld gibt es keine magnetischen Monopole, deswegen kann man magnetische Felder nur durch Magnetisierung erzeugen:

[math]\mu_0 \int E \cdot dA = Q_{mag} \qquad \textrm{mit} \qquad Q_{mag} = -\mu_0\, \int M \cdot dA[/math]

Es ist üblich die Magnetisierung und die magnetische Feldstärke zu einer Größe, der "magnetischen Flussdichte B" zusammenzufassen. Die magnetische Flussdichte ist die entscheidende Größe für die Lorentzkraft und die Induktion.

[math] \int \mu_0 (H+M) \cdot dA = 0[/math]

[math]\vec{B} = \mu_0 (\vec H + \vec M)[/math]

[math] \int B \cdot dA = 0 [/math]

Die Linien der magnetischen Flußdichte bilden daher stets geschlossene Kreise.

Elektromagnetismus

Die 1. Maxwellsche Gleichung / Durchflutungsgesetz (Erzeugung von magnetischen Wirbelfeldern)

Etwas analoges zu einem elektrischen Wirbelfeld findet man im magnetischen Feld bei den magnetischen Wirbelfeldern. Wie bereits bekannt entstehen diese um elektrische Ströme. (siehe Die magnetische Feldstärke.)

Allgemeiner gefasst:

[math]Hl = I[/math] entspricht [math]\int H \cdot ds = I[/math]

Der Verschiebungsstrom

Gedankenversuch: Laden eines Kondensators

Aufbau

Ein Kondensator wird mit einer Batterie geladen.

Ablauf

Nach dem Ampereschen Gesetz müsste sich überall entlang des Kabels ein magnetisches Wirbelfeld bilden, solange der Kondensator aufgeladen wird und dazu ein Strom fließt. Die Vorstellung, das dieses magnetische Wirbelfeld allerdings genau beim Kondensator aufhört und direkt danach wieder beginnt, wirkt allerdings befremdlich.

Aus diesem Grund erweiterte Maxwell das Amperesche Gesetz um den so genannten Verschiebungsstrom: Wir betrachten zunächst die Ladung des Kondensators, indem wir uns eine Fläche um eine der Platten vorstellen: Nach 1. Maxwellschen Gleichung erhalten wir:

[math]Q = \epsilon_0 \int E \cdot dA[/math]

Die leiten wir nach der Zeit ab:

[math]{dQ \over dt} = \epsilon_0 {d \over dt}\int E \cdot dA[/math]

Da die zeitliche Ableitung der Ladung auch als Strom gesehen werden kann:

[math]I_v = \epsilon_0 {d \over dt}\int E \cdot dA[/math]

Diesen Verschiebungsstrom setzen wir nun wieder in das Amperesche Gesetz ein:

[math]\int H \cdot ds = I + \epsilon_0 {d \over dt}\int E \cdot dA[/math]

Um ein elektrischen Strom oder um ein sich änderndes elektrisches Feld
entsteht also auch ein magnetisches Wirbelfeld.

Die 2. Maxwellsche Gleichung / Induktionsgesetz (Erzeugung von elektrischen Wirbelfeldern)

Versuch: Elektrisches Wirbelfeld (Elektrodenlose Ringentladung)

Aufbau

Eine mit Neon gefüllte Glaskugel ist von einer Ringspule umgeben. Man legt eine hochfrequente (ca.10000Hz) Welchselspannung mit etwa 400 V an die Spule und erzeugt so ein sich schnell änderndes torusförmiges magnetisches Wechselfeld.

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  Bild 1

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  Rückseite der Geräte

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  Der alternative Aufbau mit einer Funkenstrecke

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  Hier wird die Eingangsspannung mit einem [math]320\,\rm \Omega[/math] Widerstand geregelt.

Beobachtung

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  Bild 1

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  Mit der Funkenstrecke leuchtet das Gas so intensiv, dass man es schlecht beobachten kann.

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  Mit der regelbaren Eingangsspannung kann man die Intensität des Leuchtens herunterregeln.

Video des Versuchs.

Überlegung für Potentialfelder

Ein geschlossener rosa Kreis entsteht innerhalb der Glaskugel. Dies lässt auf ein elektrisches Feld schließen. Da dies jedoch rund ist, kann es sich nicht um ein Potenzialfeld handeln, sonder nur um ein elektrisches Wirbelfeld.

[math]U_{1,2} = \phi_1 - \phi_2 = \int_{P_1}^{P_2} E \cdot ds[/math]

Bei gleichem Anfangs- und Endpunkt:

[math]\int_{P_1}^{P_1} E \cdot ds = 0\quad \text{also}\quad \oint_{} E \cdot ds = 0[/math]

Im Wirbelfeld

Für ein Wirbelfeld wird dieses geschlossene Integral also nicht null ergeben, sondern eine andere induzierte Spannung: [math]\oint_{} E_{ind} \cdot ds = U_{ind}[/math]

Mit [math]U_{ind} = -{d \Phi \over dt}[/math]:

[math]\oint_{} E_{ind} \cdot ds = -{d \Phi \over dt}[/math]

Da [math]\Phi = A \cdot B \quad \text{genauer}\quad \Phi = \int B \cdot dA[/math]:

[math]\oint_{} E_{ind} \cdot ds = -{d \over dt}\int B \cdot dA[/math]

Um ein sich änderndes Magnetfeld entsteht also ein elektrisches Wirbelfeld.

Links

• Video und Versuchsaufbau elektrodenlose Ringentladung (Landesbildungsserver BaWü)
• Elektrodenlose Ringentladung Vorlesungssammlung Physik der Universität Ulm
• youtube: Tesla Trafo(Leybold)