Heuristische Lösungen der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödingergleichung: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 8. März 2012, 00:53 Uhr
Inhaltsverzeichnis
* 1 Ziel
* 2 Eigenschaften der Zustandsfunktion
o 2.1 Übersicht der Eigenschaften
* 3 Links
[bearbeiten] Ziel
Wir suchen Funktionen LaTex: \psi(x), mit den folgenden Eigenschaften:
* LaTex: \Psi(x)=-c (E-E_{pot}(x))\Psi(x), mit LaTex: c=\frac{8\pi^2m}{h^2}
* Die Funktion muss sinnvoll als Zustandsfunktion eines Quants interpretierbar sein.
[bearbeiten] Eigenschaften der Zustandsfunktion vergrößern
Anhand des Beispiels des endlich hohen Potentialtopfes kann man sich die wesentlichen Eigenschaften der Zustandsfunktion klar machen.
* gebundener Zustand: LaTex: E < E_a
o im Kasten: LaTex: E > E_{pot}
o Ausserhalb des Kastens: LaTex: E < E_{pot}
* freier Zustand: LaTex: E > E_a
[bearbeiten]
Übersicht der Eigenschaften
An Orten LaTex: x mit "kleinem" Potential: Wellenförmiger Verlauf "Stehende Welle"
* Falls LaTex: \psi(x)>0, dann ist LaTex: \psi(x)>0, die Kurve LaTex: \psi(x) ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve). * Falls LaTex: \psi(x)<0, dann ist LaTex: \psi(x)>0, die Kurve LaTex: \psi(x) ist linksgekrümmt (Linkskurve). * Falls LaTex: \psi(x)=0, dann ist LaTex: \psi(x)=0, die Kurve LaTex: \psi(x) hat einen Wendepunkt
An Orten LaTex: x mit "großem" Potential: LaTex: E < E_{pot}(x): Exponentieller Verlauf "Tunneleffekt"
* Falls LaTex: \psi(x)<0, dann ist LaTex: \psi(x)>0, die Kurve LaTex: \psi(x) ist linksgekrümmt (Linkskurve). * Falls LaTex: \psi(x)>0, dann ist LaTex: \psi(x)>0, die Kurve LaTex: \psi(x) ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).
An Orten mit LaTex: E = E_{pot}(x)
* Hier ist LaTex: \psi(x)=0, die Kurve LaTex: \psi(x) hat einen Wendepunkt.
Randbedingung
Die Zustandsfunktion muss für große und kleine Werte von x gegen Null streben, sonst ist sie nicht normierbar. Die Fläche unter LaTex: \psi^2 muss Eins betragen.
Links
- Ein intuitiver Zugang zur Schrödingergleichung (Dr. Josef Küblbeck)
