Heuristische Lösungen der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödingergleichung

Inhaltsverzeichnis

   * 1 Ziel
   * 2 Eigenschaften der Zustandsfunktion
         o 2.1 Übersicht der Eigenschaften
   * 3 Links

[bearbeiten] Ziel

Wir suchen Funktionen LaTex: \psi(x), mit den folgenden Eigenschaften:

   * LaTex: \Psi(x)=-c (E-E_{pot}(x))\Psi(x), mit LaTex: c=\frac{8\pi^2m}{h^2}
   * Die Funktion muss sinnvoll als Zustandsfunktion eines Quants interpretierbar sein. 

[bearbeiten] Eigenschaften der Zustandsfunktion vergrößern

Anhand des Beispiels des endlich hohen Potentialtopfes kann man sich die wesentlichen Eigenschaften der Zustandsfunktion klar machen.

   * gebundener Zustand: LaTex: E < E_a
         o im Kasten: LaTex: E > E_{pot}
         o Ausserhalb des Kastens: LaTex: E < E_{pot} 
   * freier Zustand: LaTex: E > E_a 

[bearbeiten] Übersicht der Eigenschaften

An Orten LaTex: x mit "kleinem" Potential: Wellenförmiger Verlauf "Stehende Welle"

   * Falls LaTex: \psi(x)>0, dann ist LaTex: \psi(x)>0, die Kurve LaTex: \psi(x) ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve).
   * Falls LaTex: \psi(x)<0, dann ist LaTex: \psi(x)>0, die Kurve LaTex: \psi(x) ist linksgekrümmt (Linkskurve).
   * Falls LaTex: \psi(x)=0, dann ist LaTex: \psi(x)=0, die Kurve LaTex: \psi(x) hat einen Wendepunkt 

An Orten LaTex: x mit "großem" Potential: LaTex: E < E_{pot}(x): Exponentieller Verlauf "Tunneleffekt"

   * Falls LaTex: \psi(x)<0, dann ist LaTex: \psi(x)>0, die Kurve LaTex: \psi(x) ist linksgekrümmt (Linkskurve).
   * Falls LaTex: \psi(x)>0, dann ist LaTex: \psi(x)>0, die Kurve LaTex: \psi(x) ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve). 

An Orten mit LaTex: E = E_{pot}(x)

   * Hier ist LaTex: \psi(x)=0, die Kurve LaTex: \psi(x) hat einen Wendepunkt. 

Randbedingung

Die Zustandsfunktion muss für große und kleine Werte von x gegen Null streben, sonst ist sie nicht normierbar. Die Fläche unter LaTex: \psi^2 muss Eins betragen.