Untersuchung von Schwingungen mit der Differentialgleichung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 9. Januar 2012, 16:19 Uhr

Schwingende Flüssigkeit im U-Rohr

Der schematische Versuchsaufbau

Versuchsaufbau: Schwingendes Wasser im U-Rohr

Koordinatensystem

Den Ort der Flüssigkeit kann man durch die Lage eines Wasserspiegels beschreiben. Dabei sind Auslenkungen nach oben positiv und der Koordinatenursprung ist in der Ruhelage.

Kraftverlauf

Die Rückstellkraft entspricht der Gewichtskraft der Wassermenge, die sich über dem tieferen Wasserspiegel befindet. Die Masse läßt sich über das Volumen [math]V[/math] und die Dichte [math]\varrho[/math] der Flüssigkeit bestimmen. Das Volumen über die Querschnittsfläche [math]A[/math] und die Höhe [math]2\, y[/math]. Dabei ist die Höhe gerade die doppelte Auslenkung der Wassersäule!

[math]F = - m_y\, g = -\, V\, \varrho \, g = -\, A\, 2\, y\, \varrho \, g = -(2\, A\, \varrho \, g)\, y[/math]

Die Rückstellkraft ist also proportional zur Auslenkung, die Schwingung ist harmonisch!

DGL

Der Proportionalitätsfaktor [math]2\, A\, \varrho \, g[/math] entspricht der Federkonstanten [math]D[/math]. Daraus folgt direkt die Differentialgleichung und deren Lösung:

[math]m\, \ddot y = - D \, y \quad \Leftrightarrow \quad \ddot y = -\frac{D}{m}\quad .[/math] mit [math] .\quad D = 2\, A\, \varrho \, g[/math]

[math]y(t)=\hat y \, \sin(\omega \, t) \quad .[/math] mit [math].\quad \omega^2 = \frac{D}{m}[/math]

Dabei ist [math]m[/math] die Masse der gesamten Flüssigkeit.

Es sieht also zunächst so aus, als ob die Frequenz von der Dichte der Flüssigkeit und auch von der Dicke des Rohres abhängt. Aber die Masse der schwingenden Flüssigkeit hängt auch von der Querschnittsfläche und von der Dichte ab! Man kann man die Form der Flüssigkeit als einen "gebogenen Zylinder" ansehen, der näherungsweise das gleiche Volumen hat wie der gerade Zylinder. Die Länge des Zylinders wird [math]l[/math] genannt:

[math]\omega^2 = \frac{D}{m} = \frac{2\, A\, \varrho \, g}{V\, \varrho } = \frac{2\, A\, \varrho \, g}{A \, l\, \varrho } = \frac{2\, g}{l}[/math]

Die Frequenz hängt also nicht von der Masse oder der Dichte der schwingenden Flüssigkeit ab!

Die Unabhängigkeit von der Masse kann man auch gut durch eine fiktive Teilung des U-Rohrs einsehen: Denkt man sich das Rohr parallel zur Zeichenebene halbiert, so erhält man zwei U-Rohre mit halbkreisförmigen Querschnitt. In jeder dieser Hälften schwingt die Flüssigkeit so wie vorher!

Das Fadenpendel

Fadenpendel mit wirkenden Kräften

Koordinatensystem

Am geeignetsten ist ein gebogenes System, das genau dem Weg des Pendelkörpers folgt. Die Ruhelage ist der Ursprung und Ausschläge nach rechts sind positiv.

Der Ort auf dem Kreis hängt direkt mit dem Winkel zusammen: [math]y = l\, \varphi[/math] Es ist praktisch den Ort indirekt über den Winkel anzugeben, weil das die Rechnungen vereinfacht.

Kraftverlauf

Die Rückstellkraft kommt durch durch die Gewichtskraft des Pendelkörpers zustande. Sie muss parallel zur Bewegungsrichtung wirken, das heißt die Rückstellkraft ist der zur Bewegungsrichtung parallele Anteil der Gewichtskraft:

[math]F(y) = F_g \, \sin(\varphi) = m\, g \, \sin(\frac{y}{l})[/math]

Die Rückstellkraft ist also nicht proportional zur Auslenkung und die Schwingung ist nicht harmonisch!

Man kann den Kraftverlauf für kleine Ausschläge linear nähern, indem man die Sinuskurve durch die Tangente für [math]y=0[/math] ersetzt. Die Steigung beträgt dort:

[math]F'(y)= m\, g \, \frac{1}{l}\, \sin(\frac{y}{l})\quad \Rightarrow \quad F'(0\, \rm m) = m\, g \, \frac{1}{l}[/math]

Demnach gilt für den Kraftverlauf ungefähr:

[math]F(y)\approx \frac{m \, g}{l} \, y[/math]

Federpendel im Gravitationsfeld

Versuchsaufbau Federpendel im Gravitationsfeld

Der Kraftverlauf bei verschiedenen Koordinatensystemen