Gase

• Unterschiedliche Eigenschaften von Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern

Eine Gasmenge hat fünf verschiedene messbare Eigenschaften:

Stoffmenge [math]n [/math] (Mol);

Entropie [math]S [/math] (Carnot) und Temperatur [math]T[/math] (Kelvin);

Volumen [math]V[/math] (m^3) und Druck [math]p[/math] (Pascal).

Diese fünf Eigenschaften kann man nicht beliebig festlegen, sie hängen voneinander ab. Als Beispiel kann man eine gewisse Stoffmenge an Luft in einem Kolbenprober betrachten:

Man möchte gerne ein Volumen von 0,5l haben. Das erreicht man durch Herausziehen des Kolbens.

Durch Erhitzen kann man die gewünschte Entropiemenge (Wärmemenge) der Luft einstellen.

Dabei stellt sich "automatisch" der entsprechende Druck und die passende Temperatur ein.

Ebenso könnte man durch das Einstellen des Kolbens und durch Erhitzen oder Abkühlen einen gewünschten Druck und eine gewünschte Temperatur einstellen. Daraus ergibt sich dann das Volumen und die Entropiemenge des Gases.

Auch durch Änderung der Luftmenge läßt sich ein gewünschter Druck oder Entropiemenge einstellen.

Insgesamt ergibt sich:

Bei einem Gas sind drei der beschreibenden Größen frei wählbar. Die restlichen zwei liegen dann fest.

Häufig betrachtet man eine feste Gasmenge, für die gilt dann:

Alle Eigenschaften einer bestimmten Menge Gas sind durch die Angaben von nur zwei Größen festgelegt.

Umgekehrt heisst das, dass für eine feste Menge Gas jede Größe durch die Angabe von nur zwei anderen Größen feststeht. Man kann daher jede Größe in Abhängigkeit von zwei Variablen beschreiben. Erstmal sortiert nach den Variablen:

[math]T(S,p)[/math]	[math]T(S,V)[/math]	[math]T(p,V)[/math]	[math]S(T,p)[/math]	[math]S(T,V)[/math]	[math]p(T,S)[/math]
[math]V(S,p)[/math]	[math]p(S,V)[/math]	[math]S(p,V)[/math]	[math]V(T,p)[/math]	[math]p(T,V)[/math]	[math]V(T,S)[/math]

Oder sortiert nach der Größe, die in der Gleichung nicht vorkommt:

ohne S	ohne V	ohne p	ohne T
[math]T(p,V)[/math]	[math]T(S,p)[/math]	[math]T(S,V)[/math]	[math]V(S,p)[/math]
[math]V(T,p)[/math]	[math]S(T,p)[/math]	[math]S(T,V)[/math]	[math]p(S,V)[/math]
[math]p(T,V)[/math]	[math]p(T,S)[/math]	[math]V(T,S)[/math]	[math]S(p,V)[/math]

Pro Spalte sind es drei Größen, die miteinander zusammenhängen, was mit einer Gleichung beschreibbar ist. Am bekanntesten ist der Zusammenhang der drei Größen V, p und T, also ohne S. Das liegt daran, dass die Entropie im Gegensatz zu den anderen Größen nicht direkt messbar ist. Man nennt diese Gleichung auch allgemeine Gasgleichung. Das besondere an dieser Gleichung ist auch, dass sie für alle verschiedenen Gase, wie Sauerstoff, Stickstoff, usw. gilt.

[math]p \, V = n \, R\, T[/math], mit [math]R = 8,3144 \frac{Ct}{mol}[/math]

Der Zusammenhang der Größen mit Entropie ist leider etwas komplexer. Einerseits kann man nur die Entropieänderung beschreiben und nicht den absoluten Entropiegehalt. Andererseits hängt die Entropiemenge von der Art des Gases, genauer von der Anzahl der Freiheitsgrade [math]f[/math] eines Gasmoleküls ab.

Ein einatomiges Gas hat 3 Freiheitsgrade, je einen für die Verschiebung in eine der drei Raumrichtungen.

Ein zweiatomiges Gas hat 7 Freiheitsgrade, nämlich drei für die Verschiebung in drei Raumrichtungen, zwei Rotationsfreiheitsgrade für Rotationen um Achsen senkrecht zur Verbindungslinie der Molekülatome und zwei Schwingungsfreiheitsgrade für die eine mögliche Schwingung der Molekülatome zueinander.

Für die Änderung des Entropiegehalts [math]S_0[/math] bei Änderung des Volumens von [math]V_0[/math] auf [math]V[/math] und der Temperatur von [math]T_0[/math] auf [math]T[/math] gilt dann:

[math]S= S_0 + \triangle S = S_0 + n\,R \, ln \frac{V}{V_0} + n\, \frac{f}{2}\, R \, ln \frac{T}{T_0}[/math]

Bei jeder Verdoppelung des Volumens (bei gleicher Temperatur) nimmt die Entropie also um eine konstante Menge zu!

Ebenso nimmt die Entropie bei Verdoppelung der Temperatur (bei gleichem Volumen) um eine konstante Menge zu!

Mit Hilfe der allgemeinen Gasgleichung kann man das Volumen durch den Druck ausdrücken. Auch hier ist die Entropieänderung wieder von der Art des Gases abhängig:

[math]S=S_0 + n \, R \, ln\frac{p_0}{p} + n \, \frac{f+2}{2} \, R \, ln\frac{T}{T_0}[/math]

Auch jede Halbierung des Drucks (bei gleicher Temperatur) führt zu einer konstanten Zunahme der Entropie!

Links

• Energie.ch: Gasgleichungen (Rolf Gloor)
• System Physik: Ideales Gas (Werner Maurer, Winterhtur)
• Wikipedia (engl.): Entropy
• Wikipedia: Freiheitsgrade