Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit konstanter Impulsänderung

(Klassische Mechanik > Kräfte ändern den Impuls)

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  Wer war Schuld? (Verschiedene Unfallspuren)

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  War der Sicherheitsabstand ausreichend? (Bremsverzögerungswerte auf verschiedenem Untergrund)

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  Wurde hier die Höchstgeschwindigkeit überschritten?

Versuch: Ein Wagen rollt berab

Der Versuchsaufbau mit dem Ultraschallentfernungsmesser

Aufbau

Ein kleiner Wagen wird auf eine schräggestellte Schiene gesetzt und losgelassen. Am Ende der Schiene bremst etwas Knete den Wagen.

Mit Hilfe eines Ultraschallsensors kann dabei der Ort des Wagens bestimmt werden, wobei das Ortskoordinatensystem gerade die Schiene selbst ist. Den Nullpunkt kann man beliebig setzen, z.B. an den linken Rand der Schiene.

Messung

Diagramme über die Zeit von Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls und Kraft.

Ergebnis

Im Wasserbehältermodell

Die gefundene gleichmäßige Zunahme von Impuls und Geschwindigkeit ist nicht überraschend. Eine konstante Kraft entspricht im Wasserbehältermodell einer gleichmäßigen Zunahme der Wassermenge (Impuls) und damit auch der Wasserhöhe (Geschwindigkeit).

Das Modell kann allerdings keine Aussagen über den Ort des Wagens machen!

Zahlenwerte

Das Impulsdiagramm liefert folgendes:

Der Impuls hat gleichmäßig zugenommen. Innerhalb von 2,5s um 0,04 Hy.

Die Impulszunahme, also die Kraft, war in etwa konstant. Sie entspricht der Steigung im Diagramm und beträgt

[math]F=\frac{\triangle p}{\triangle t}=\frac{0{,}04\rm Hy}{2{,5}\rm s} = 0{,}016\rm N[/math]

Die Hangabtriebskraft war also um 0,016 Newton größer als die Reibungskraft. Das ist nicht viel und entspricht der Gewichtskraft von 1,6 Gramm.

Das Abbremsen ging viel schneller als das Beschleunigen. Innerhalb von nur 0,2s sinkt die Impulsmenge um 0,04Hy. Außerdem war die Kraft, also die Impulsänderung, beim Bremsen nicht konstant. Die mittlere Kraft entspricht der mittleren Steigung und betrug

[math]\bar F=\frac{-0{,}04\rm Hy}{0{,}2\rm s} = -0,2\rm N[/math]

Man hätte den Wagen also mit einer Kraft von 0,2 Newton, die 0,2 Sekunden lang wirkt abbremsen können.

Das Kraftdiagramm bestätigt die am Geschwindigkeitsdiagramm gefundenen Aussagen.

Die Fläche unter dem Diagramm entspricht der Impulsänderung.

Während der Beschleunigung kommen ca. 0,04 Hy dazu, beim Abbremsen sinkt die Impulsmenge wieder auf Null.

Am Ortsdiagramm kann man folgendes ablesen:

Der Wagen befindet sich zunächst am Anfang der Schiene. Nach ca. zwei Sekunden wurde er losgelassen und erreicht den Knetklumpen nach ca. 4,5 Sekunden. Während seiner Fahrt wurde er immer schneller. Der Knetklumpen lag 0,6m vom linken Rand entfernt.

Das Geschwindigkeitsdiagramm liefert folgendes:

Die Geschwindigkeit hat gleichmäßig zugenommen. Innerhalb von 2,5s um 0,4 m/s.

Die Beschleunigung beim Bergabrollen war also in etwa konstant. Sie beträgt

[math]a=\frac{0{,}4\rm\frac{m}{sec}}{2{,5}\rm s} = 0{,}16\rm \frac{m}{s^2}[/math]

Das Abbremsen ging viel schneller als das Beschleunigen. Innerhalb von nur 0,2s fiel die Geschwindigkeit um 0,4m/sec. Außerdem war die Beschleunigung beim Bremsen nicht konstant. Die mittlere Beschleunigung betrug

[math]\bar a=\frac{-0{,}4\rm\frac{m}{s}}{0{,}2\rm s} = -2\rm \frac{m}{s^2}[/math]

Das Beschleunigungsdiagamm bestätigt die am Geschwindigkeitsdiagramm gefundenen Aussagen.

Bewegungsgesetze herleiten

Die folgenden Aufgaben kann man mit dieser Animation der Bewegungsdiagramme lösen!

Pauline und Paul fahren Skateboard. Pauline ist kleiner und bringt deshalb nur 50kg auf die Waage im Vergleich zu doppelt so schweren Paul.

konstanter Impuls und Geschwindigkeit

Pauline fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 1 m/s. Als sie am Baum vorbeifährt, beginnt die Zeitmessung. Die Reibung soll zunächst vernachlässigt werden.

a) Stelle den Kraftverlauf und die Werte von v(0), s(0) und m so ein, dass es der beschriebenen Bewegung entspricht.

b) Wo ist Pauline nach 6 Sekunden und wie schnell ist sie?

c) Begründe die Bewegungsgesetze durch die Betrachtung von Ableitungen (Steigungen) und Integralen (Flächen):

[math]s(t) = v\, t = 1 \, \rm{\frac{m}{s}} \cdot t[/math]

[math]v(t) = v_0 = 1 \, \rm \frac{m}{s} [/math]

[math]a(t) = 0 \, \rm \frac{m}{s^2}[/math]

d) Löse b) mit Hilfe der Bewegungsgesetze.

konstante Impuls- und Geschwindigkeitszunahme

Pauline steht zu Beginn am Baum. Dann wird sie von Paul mit 20 Newton angeschoben.

Vernachläßige zunächst die auftretende Reibung.

a) Stelle den Kraftverlauf und die Werte von v(0), s(0) und m so ein, dass es der beschriebenen Bewegung entspricht.

b) Wieviel Impuls hat Pauline 1s, 2s,... nach dem Start?

c) Wie schnell ist sie 1s, 2s,... nach dem Start?

d) Wie weit fährt sie innerhalb von 1s, 2s,... nach dem Start?

e) Begründe die Bewegungsgesetze durch die Betrachtung von Ableitungen (Steigungen) und Integralen (Flächen):

[math]s(t) = \frac{1}{2} \, a\, t^2 = 0{,}2 \, \rm \frac{m}{s^2} \cdot t^2[/math]

[math]v(t) = a\, t = 0{,}4 \, \rm \frac{m}{s^2} \cdot t[/math]

[math]a(t) = \frac{F}{m} = 0{,}4 \, \rm \frac{m}{s^2}[/math]

f) Löse c) und d) mit Hilfe der Bewegungsgesetze.

g) Nun tauschen Paul und Pauline die Rollen: Er steht am Baum auf dem Board und sie zieht mit 20 Newton. Vergleiche seine Fahrt mit der von Pauline.

h) Nimm nun an, dass bei Pauline eine Reibungskraft von 5N und bei Paul von 10N wirkt, solange sie fahren. Wie verändert sich die Fahrt der beiden?

Bremswege

Pauline kommt mit 1 m/s angerauscht. Als sie am Baum vorbeifährt, sieht sie 2 Meter vor sich "Momo", die Katze der Nachbarn, sitzen. Sie bremst ab sofort mit 15 Newton, dazu kommen noch 5 Newton Reibungskraft.

a) Stelle den Kraftverlauf und die Werte von v(0), s(0) und m so ein, dass es der beschriebenen Bewegung entspricht.

b) Wie lange dauert es, bis sie steht? Schafft sie es noch vor der Katze anzuhalten? Wenn nicht, bei welcher Geschwindigkeit kollidieren die beiden?

c) Begründe folgende Formeln für die Bremszeit und den Bremsweg:

[math]t_{brems} = \frac{v_0}{a} = v_0 \, \frac{m}{F} [/math]

[math]s_{brems} = \frac{1}{2} \frac{v_0^2}{a} = \frac{1}{2} v_0^2 \, \frac{m}{F}[/math]

d) Wie verändert sich der Bremsweg und die Bremszeit, wenn sich die Ausgangsgeschwindigkeit verdoppelt oder halbiert?

e) In der Fahrschule lernt man folgende Faustregel für den Bremsweg eines Fahrzeuges:

Teile die Geschwindigkeit in km/h durch 10, multipliziere das Ergebnis mit sich selbst und nimm davon die Hälfte. Das Ergebnis ist der Bremsweg in Metern.

Für eine Geschwindigkeit von 50km/h ergibt sich: [math]s_{brems} = \frac{1}{2} \left(\frac{50}{10}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot 25 = 12{,}5 (m)[/math]

Stelle die Formel mit Hilfe von Variablen dar.

Wie muss man die Formel ändern, damit man die Geschwindigkeit in m/s einsetzen kann?

Von welcher Bremsbeschleunigung geht man bei der Verwendung der Formel aus? Vergleiche mit dieser Tabelle.

Bewegungsgesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Bewegungsgesetze	Bewegungsdiagramme
Ort [math]s(t)= \frac{1}{2} a_0\, t^2 [/math] Geschwindigkeit [math]v(t)= a_0\,t [/math] Impuls [math]p(t)= F_0\,t[/math] Beschleunigung [math]a(t)= a_0 = \frac{F_0}{m}[/math] Kraft [math]F(t) = F_0[/math]