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==Leere Seite==
 
 
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|}([[Inhalt_Kursstufe|'''Kursstufe''']] > [[Inhalt_Kursstufe#Experimentell-induktives_Vorgehen_am_Beispiel_einer_Schwingung|'''Experimentell-induktives Vorgehen am Beispiel einer Schwingung''']])
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=Fehlerrechnung=
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==Systematische und zufällige Messfehler==
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*Jede Messung ermittelt nur einen ungenauen Wert einer Größe.
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*Dabei enthaltene Messfehler teilt man in systematische und zufällige Fehler ein.
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:Systematische Fehler entstehen z.B. durch einen falschen Versuchsaufbau. Sie verschieben die gemessenen Werte um einen festen Betrag. Sie sind schwer abzuschätzen oder zu korrigieren.
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:Bei zufälligen Fehlern geht man davon aus, dass die Messwerte um den korrekten Wert schwanken. Zufällige Fehler werden durch Schwankungen der Messgröße, der Messgeräte, der Umwelt, durch den Beobachter etc. verursacht. Sie sind unvermeidbar, können aber abgeschätzt und durch Wiederholung verringert werden. Dazu verwendet man die Statistik.
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<gallery widths=162px heights=162px  perrow=2 caption="Graphische Veranschaulichung der Fehlertypen">
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Bild:Fehlerdarstellung Zielscheibe systematisch-klein zufällig-klein.png|Kleiner zufälliger Fehler<br/>Kleiner systematischer Fehler
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Bild:Fehlerdarstellung Zielscheibe systematisch-groß zufällig-klein.png|Kleiner zufälliger Fehler<br/>Großer systematischer Fehler
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Bild:Fehlerdarstellung Zielscheibe systematisch-klein zufällig-groß.png|Großer zufälliger Fehler<br/>Kleiner systematischer Fehler
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Bild:Fehlerdarstellung Zielscheibe systematisch-groß zufällig-groß.png|Großer zufälliger Fehler<br/>Großer systematischer Fehler
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</gallery>
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==Angabe von Messfehlern==
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==Praktikum: Messen der Leistung==
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*Als absolute Angabe mit Einheiten: <math>l=2\,\rm m \ (\pm 0,01\,\rm m) \qquad  \qquad l = l_0 \pm \Delta l</math>
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====Material====
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*Als relative Angabe ohne Einheiten: <math>l=2\,\rm m \ (\pm 0,05)\ (\pm 5 \%) \qquad (\pm \frac{\Delta l}{l})</math>
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[[Datei:Praktikum Leistung.jpg|thumb|right|300px]]
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*Mit Hilfe von geltenden Ziffern, wobei nur die letzte Ziffer fehlerbehaftet ist: <math>l=2,000\,\rm m</math>
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* 1 Steckbrett mit ca. 10 Verbindungssteckern
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* 1 Flachbatterie 4,5V
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==Statistische Beurteilung von zufälligen Fehlern==
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* 2 Kabel mit 2 Klemmen
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* 2 Lämpchen mit Fassungen
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*Dazu müssen eine möglichst große Anzahl von <math>N</math> Messungen der gleichen Größe <math>x</math> durchgeführt werden.
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* 2 Multimeter mit je 2 Kabeln
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[[Bild:Gausskurve_sw.jpg|thumb|Gaußsche Glockenkurve]]
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*Häufig kann man annehmen, dass der Messwert normalverteilt ist, die Häufigkeiten also der Gaußschen Glockenkurve entsprechen. (Das liegt daran, dass eine zufällige Größe, die von sehr vielen voneinander unabhängigen Einflüssen abhängt, normalverteilt ist. (Sogenannter "zentraler Grenzwertsatz"))
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*Der Verlauf der Kurve und damit die Messwerte werden durch die Angabe des Mittelwerts (<math>\bar x</math>) und der Standardabweichung (<math>s</math> oder <math>\sigma</math>) vollständig festgelegt. Der Mittelwert gibt den Ort des Maximums an, die Standardabweichung gibt den Abstand der Wendestellen von der Extremstelle an.
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:<math>\bar x = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N} \qquad \sigma = s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N (\bar x - x_i)^2}{N-1}}</math>
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[[Bild:Gausskurve_mit_Vertrauensgrenzen.jpg|thumb|Gausskurve mit Vertrauengrenzen]]
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*Die Standardabweichung der Messwerte gibt an, wie genau die Messungen waren. Kleine Abweichung = Genaue Messung. Man kann damit auch die Wahrscheinlichkeit angeben, dass ein Messwert innerhalb eines Bereichs liegt.
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Maximale absolute Abweichung | Vertrauensniveau
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            s                |    68% (ca. 2/3)
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          2 s                |    95%
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        2,5 s                |    99%
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*Für das Gesamtergebnis ist aber nicht der einzelne Messwert, sondern der Mittelwert der N Messwerte interessant. Dies berücksichtigt dann auch die Tatsache, dass der Mittelwert immer weniger unsicher wird, je mehr Messungen durchgeführt werden!
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:Für den Mittelwert gibt es auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer anderen Glockenkurve. Daraus ergibt sich die Standardabweichung des Mittelwertes <math>s_M</math>. Sie ergibt eine Abschätzung für den Fehler des Mittelwertes und wird als '''Fehler der Messung''' angegeben.
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:<math>s_M = \frac{s}{\sqrt{N}}</math>
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:Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% liegt also der Mittelwert der N Messungen im Bereich <math>\bar x \pm s_M</math>.
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==Fehlerfortpflanzung==
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*Häufig werden eine oder mehrere fehlerbehaftete Ergebnisse verwendet, um ein Gesamtergebnis zu berechnen, das natürlich auch fehlerbehaftet ist. Man spricht von Fehlerfortpflanzung.
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===Summen und Differenzen===
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*Die absoluten Fehler addieren sich.
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;Beispiel:
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Es wird die Dicke eines Blatt Papiers zu <math>0{,}2\,\rm mm \ (\pm 0{,}01\,\rm mm)</math> bestimmt. Für die Dicke von 50 Blättern ergibt sich: <math>10\,\rm mm \ (\pm 0{,}5\,\rm  mm)</math>
+
−
 
+
−
===Produkte und Quotienten===
+
−
*Die relativen Fehler addieren sich.
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'''Beispiel:'''
+
−
Zur Bestimmung der Geschwindigkeit wurde die Strecke und die Zeit gemessen:
+
−
 
+
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:<math>s = 5\,\rm m \ (\pm 0{,}01 \,\rm m) \ (\pm 0{,}2\%)</math>
+
−
 
+
−
:<math>t = 2 \,\rm s \ (\pm 0{,}1 \,\rm s) \ (\pm 5\%)</math>
+
−
 
+
−
:<math>v=\frac{s}{t}= 2{,}5 \,\rm m/s \ (\pm 5{,}2\%)</math>
+
−
 
+
−
Aus dem relativen Fehler ist es nun auch möglich wieder den absoluten Fehler zu berechnen.
+
−
 
+
−
===Potenzen und Wurzeln===
+
−
*Die relativen Fehler werden mit der Potenz gewichtet und addiert.
+
−
;Beispiel:
+
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Bestimmung der kinetischen Energie eines Radfahrers.
+
−
:<math>
+
−
\begin{alignat}{2}
+
−
E_{kin}      &= \frac{1}{2}\, m\, v^2 & \qquad (v \textrm{ in } \rm\frac{m}{s} )\\
+
−
              &= \frac{1}{2}\, m\, \frac{v^2}{3{,}6^2} & \qquad (v \textrm{ in } \rm\frac{km}{h} )
+
−
\end{alignat}
+
−
</math>
+
−
:<math>m = 85,3\,\rm kg \ (\pm 0,1\,\rm kg) \ (\pm 0{,}12\%)</math>
+
−
:<math>v = 18\,\rm \frac{km}{h} \ (\pm 1 \,\rm\frac{km}{h}) \ (\pm 5{,}6\%) </math>
+
  
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Der relative Messfehler der Geschwindigkeit wird nun doppelt gewichtet (mit zwei multipliziert):
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====Arbeitsauftrag====
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:<math>E_{kin} = 1066{,}66\,\rm J \ (\pm 11{,}32\%)</math>
+
*Messt in den verschiedenen Schaltungen wieviel Watt Leistung (P) (oder Energiestromstärke) die Batterie und die Lämpchen haben.
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Um diese Messung zu verbessern, muss man vor allem die Geschwindigkeit genauer messen.
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#Dazu sollt ihr in allen Stromkreisen die verschiedenen Potentiale messen und farbig in die Schaltpläne einzeichnen. Der Minuspol der Batterie soll die Erde sein, also auf 0 Volt liegen. Aus den Potentialen könnt ihr die Spannung U (Potentialunterschied) in Volt an den Bauteilen berechnen.
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#Dann müßt ihr die Stromstärken an allen Bauteilen messen und in den Schaltplan eintragen.
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#Aus Spannung und Stromstärke könnt ihr die Leistung der Bauteile berechnen.
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#Versucht die Versuchsergebnisse logisch zu erklären und schreibt eure Begründung auf.
  
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;Beispiel:
+
====Schaltungen====
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Bestimmung der Periodendauer eines Pendels.
+
:[[Datei:Praktikum_Leistungsmessung_Schaltpläne.png|600px]]
  
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:<math>T = 2\pi \, \frac{\sqrt{l}}{\sqrt{g}} = 2\pi \, \frac{l^{1/2}}{g^{1/2}}</math>
+
:'''a)''' Ein Lämpchen an der Batterie angeschlossen.
  
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:<math>l = 0{,}6\,\rm m \ (\pm 0{,}1\%)</math>
+
              | Batterie | Lämpchen |
 +
Spannung U    |          |          |
 +
              |          |          |
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Stromstärke I |          |          |
 +
              |          |          |
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Leistung P    |          |          |
 +
              |          |          |
  
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:<math>g = 9{,}81 \,\rm m/s^2 \ (\pm 0{,}01\%)</math>
+
:'''b)''' Zwei Lämpchen parallel geschaltet.
  
−
Die relativen Messfehler werden nun mit 1/2 gewichtet (multipliziert) und addiert:
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              | Batterie | Lämpchen 1 | Lämpchen 2 |
 +
Spannung U    |          |            |            |
 +
              |          |            |            |
 +
Stromstärke I |          |            |            |
 +
              |          |            |            |
 +
Leistung P    |          |            |            |
 +
              |          |            |            |
  
−
:<math>T = 1{,}5539 s \ (\pm 0,055\%)</math>
+
:'''c)''' Zwei Lämpchen in Reihe geschaltet.
  
−
In diesem Fall ist also der Gesamtfehler kleiner als der größte Einzelfehler!
+
              | Batterie | Lämpchen 1 | Lämpchen 2 |
 +
Spannung U    |          |            |            |
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              |          |            |            |
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Stromstärke I |          |            |            |
 +
              |          |            |            |
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Leistung P    |          |            |            |
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Aktuelle Version vom 22. Juli 2026, 10:39 Uhr

Praktikum: Messen der Leistung

Material

Praktikum Leistung.jpg
  • 1 Steckbrett mit ca. 10 Verbindungssteckern
  • 1 Flachbatterie 4,5V
  • 2 Kabel mit 2 Klemmen
  • 2 Lämpchen mit Fassungen
  • 2 Multimeter mit je 2 Kabeln

Arbeitsauftrag

  • Messt in den verschiedenen Schaltungen wieviel Watt Leistung (P) (oder Energiestromstärke) die Batterie und die Lämpchen haben.
  1. Dazu sollt ihr in allen Stromkreisen die verschiedenen Potentiale messen und farbig in die Schaltpläne einzeichnen. Der Minuspol der Batterie soll die Erde sein, also auf 0 Volt liegen. Aus den Potentialen könnt ihr die Spannung U (Potentialunterschied) in Volt an den Bauteilen berechnen.
  2. Dann müßt ihr die Stromstärken an allen Bauteilen messen und in den Schaltplan eintragen.
  3. Aus Spannung und Stromstärke könnt ihr die Leistung der Bauteile berechnen.
  4. Versucht die Versuchsergebnisse logisch zu erklären und schreibt eure Begründung auf.

Schaltungen

Praktikum Leistungsmessung Schaltpläne.png
a) Ein Lämpchen an der Batterie angeschlossen. 
              | Batterie | Lämpchen |
Spannung U    |          |          |
              |          |          |
Stromstärke I |          |          |
              |          |          |
Leistung P    |          |          |
              |          |          |
b) Zwei Lämpchen parallel geschaltet. 
              | Batterie | Lämpchen 1 | Lämpchen 2 |
Spannung U    |          |            |            |
              |          |            |            |
Stromstärke I |          |            |            |
              |          |            |            |
Leistung P    |          |            |            |
              |          |            |            |
c) Zwei Lämpchen in Reihe geschaltet. 
              | Batterie | Lämpchen 1 | Lämpchen 2 |
Spannung U    |          |            |            |
              |          |            |            |
Stromstärke I |          |            |            |
              |          |            |            |
Leistung P    |          |            |            |
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